静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−10, −30, 10) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(0, 3, 1) 运动到点 B(−5, −5, 1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−10, −30, 10) NA(0, 3, 1) mB(−5, −5, 1) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (4, −3, 3)、b = (4, −4, −1) 和 c = (−4, −2, −2)。

a = (4, −3, 3)b = (4, −4, −1)c = (−4, −2, −2)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 50 kN 位于 2 mP₂ = 60 kN 位于 4 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 3 mAD = 6 mP = 45 kN 位于 4 mw = 12 kN/m，从 3 到 6 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓G: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 15 kN ↓H: 40 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.75 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 12 kNAD = 2 mAB = 4 mAC = 0.75 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 2 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 2 kNW_b = 0.5 kNAB = 6 mAC = 1.5 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 9.5 mP₁ = 40 kN 位于 5 mP₂ = 60 kN 位于 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

M_B = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP = 55 kN 位于 3.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 130 mm、厚 14 mm，总高度 380 mm，腹板厚 6 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 100 kN·m。求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σ_j 的大小。

B = 130 mmH = 380 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 290 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−5, −5, 1) − (0, 3, 1) = (−5, −8, 0) m

功

W = F·d = (−10)·(−5) + (−30)·(−8) + 10·0 = 290 J

答案

W = 290 J

2.向量：点积和叉积

答案: V = 84

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·(−2) − (−1)·(−2) = 6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·(−4) − 4·(−2) = 12

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 4·(−2) − (−4)·(−4) = −24

与 a 的点积

a·(b × c) = 4·6 + (−3)·12 + 3·(−24) = −84

V = |−84| = 84

答案

V = 84

3.梁的支座反力

答案: R_A = 76 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·2 + 60·4

R_B = 340/10 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 34 = 76 kN

答案

R_A = 76 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 144 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 12·3 = 36 kN 位于 1.5 m ，量自 C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 45·1 + 36·1.5

R_D = 33 kN

V_C = 81 − 33 = 48 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 48 = 48 kN

M_A = 48·3 = 144 kN·m

答案

M_A = 144 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 65 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 91.92 kN (C), HE: 49.5 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), BG: 14.14 kN (T), DG: 28.28 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 26.25 kN (C), BC: 12.5 kN (C), CD: 12.5 kN (C), DE: 1.25 kN (T), FG: 13.75 kN (C), GH: 41.25 kN (C), AF: 19.45 kN (C), HE: 1.768 kN (C), BF: 13.75 kN (T), CG: 0, DH: 1.25 kN (T), BG: 19.45 kN (C), DG: 19.45 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: A = 65.12 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 12·4/(0.3511·2) = 68.35 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 64 kN （指向墙）

A_y = 12 − F_CD·sin α = −12 kN

模

A = √(64² + −12²) = 65.12 kN

答案

A = 65.12 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: A = 9.003 kN

缆绳拉力

T = (2 + 0.5/2)/0.2425 = 9.277 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 9 kN

A_y = 2 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(9² + 0.25²) = 9.003 kN

答案

A = 9.003 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_B = −90 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·5 + 60·9.5

R_B = 770/8 = 96.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 96.25 = 3.75 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上只作用 P₂，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。

M_B = −P₂·a = −60·1.5 = −90 kN·m

答案

M_B = −90 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 63 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3.5 + 2·5·2.5

R_B = 217.5/5 = 43.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 43.5 = 21.5 kN

V = 0 在哪里？

V(3.5⁻) = R_A − w·3.5 = 14.5 kN

V(3.5⁺) = 14.5 − 55 = −40.5 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·3.5 − w·3.5²/2 = 21.5·3.5 − 2·3.5²/2 = 63 kN·m

答案

M_max = 63 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3.5 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 129.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 1963·140)/(40000 − 1963) = 97.94 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·2.065² = 133.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·42.06² = 3.781 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 129.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 129.7 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_j = 122.4 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 380 − 2·14 = 352 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·380³ − 124·352³)/12

I_x = 1.438 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 190 − 14 = 176 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·176/1.438 × 10⁸ = 122.4 MPa

答案

σ_j = 122.4 MPa

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