静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−2, −1, 2) 与 b = (5, 7, −3) 的点积 a·b。

a = (−2, −1, 2)b = (5, 7, −3)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (0, −5, 4)、b = (5, −5, −4) 和 c = (−4, 2, −5)。

a = (0, −5, 4)b = (5, −5, −4)c = (−4, 2, −5)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 4 kN/m 减小到 B 处的零。距 A 为 5 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 60 kN 位于 5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 2 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 3 mAC = 4 mP = 60 kN 位于 2 mw = 5 kN/m，从 2 到 4 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 30 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 8 m，B 在地面之上 3 m，且位于 A 右侧 4.8 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 2.88 m，作用 12 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 12 kNL = 8 mH = 3 mA 到 B 的水平距离 = 4.8 mA 到 K 的水平距离 = 2.88 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 120 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 5 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 4000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 4000 NAB = BC = 120 mmh = 5 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 1 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 60 kN·m，没有其他荷载。求力偶右侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mM₀ = 60 kN·m 顺时针，作用于 1 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 0 m10 kN @ 6 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 30 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 200 mm切口: 30 × 30 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −23

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−2)·5 + (−1)·7 + 2·(−3) = (−10) + (−7) + (−6) = −23

答案

a·b = −23

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: V = 245

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·(−5) − (−4)·2 = 33

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−4)·(−4) − 5·(−5) = 41

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·2 − (−5)·(−4) = −10

与 a 的点积

a·(b × c) = 0·33 + (−5)·41 + 4·(−10) = −245

V = |−245| = 245

答案

V = 245

3.梁的支座反力

答案: R_B = 42.83 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·2.667 + 60·5

R_B = 42.83 kN

R_A = 76 − 42.83 = 33.17 kN

答案

R_B = 42.83 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 20 kN

分布荷载的合力

W = 5·2 = 10 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 60·2 + 10·3

R_B = 150/3 = 50 kN

R_A = 70 − 50 = 20 kN

答案

R_A = 20 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 6.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 5 = 25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0.6247 = −8.004 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8.004)·0.7809 = 6.25 kN

答案

F_AC = 6.25 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = 29.69 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 − 30·4 → C_y = −23.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −23.75 = 48.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−23.75/0.8 = 29.69 kN

答案

F_BC = 29.69 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: F_BC = 6.316 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(3.2² + 3²) = 4.386 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(3/4.386)·8 = 12·2.88

F_BC = 6.316 kN （压缩）

答案

F_BC = 6.316 kN

8.框架与机器

答案: F = 333.6 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 5/120 = 0.04167, θ = 2.388°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 4003 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 333.6 N

答案

F = 333.6 N

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 48 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 60/5 = 12 kN (向上)

R_A = −R_B = −12 kN (向下)

在力偶右侧紧邻处截开

左侧部分现在包含 R_A 和力偶。

M_x = R_A·a + M₀ = −12·1 + 60 = 48 kN·m

答案

M_x = 48 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 1 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 53.25 kN, R₂ = 15.75 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −35 kN·m, M_C = −19.75, M_D = −10.5, M_E = −7.25, M_F = −10, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −35 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 49.24 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267.5 mm

腹板: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·267.5 + 3120·130)/6720 = 203.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·15³/12 + 3600·(267.5 − 203.7)² = 1.474 × 10⁷ mm⁴

腹板: 12·260³/12 + 3120·(130 − 203.7)² = 3.45 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.474 × 10⁷ + 3.45 × 10⁷ = 4.924 × 10⁷ mm⁴ = 49.24 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 49.24 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 78.44 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·100 − 900·60)/(24000 − 900) = 101.6 mm

完整的板关于 ȳ

120·200³/12 + 24000·−1.558² = 80.06 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·30³/12 + 900·−41.56² = 1.622 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 78.44 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 78.44 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics