静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (5, 30, 0) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−4, 0, −5) 运动到点 B(5, 0, −2)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (5, 30, 0) NA(−4, 0, −5) mB(5, 0, −2) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−3, −6, −4) 和 b = (−1, 3, −3)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (−3, −6, −4)b = (−1, 3, −3)

(a × b)_z =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 50 kN 位于 1.5 mP₂ = 20 kN 位于 2.5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并从 1.5 m 到位于 5 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 3.5 mAC = 5 mP = 70 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 1.5 到 5 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 50 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 25 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 15° 角。B 处施加 250 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 250 Nθ = 15°

Q = N

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2.4 m，并由高度为 1 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 15 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 15 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 2.4 mDE 的高度 = 1 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 9 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 0 m40 kN @ 12 m15 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 240 mm 的板有一个宽 80 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mm切口: 80 × 50 mm孔心: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 45 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (5, 0, −2) − (−4, 0, −5) = (9, 0, 3) m

功

W = F·d = 5·9 + 30·0 + 0·3 = 45 J

答案

W = 45 J

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = −15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·(−3) − (−4)·3 = 30

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−1) − (−3)·(−3) = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·3 − (−6)·(−1) = −15

所求分量

(a × b)_z = −15

答案

(a × b)_z = −15

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_A = 38.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1.5 + 20·2.5

R_B = 125/4 = 31.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 31.25 = 38.75 kN

答案

R_A = 38.75 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 51 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 4·3.5 = 14 kN, x̄ = (1.5 + 5)/2 = 3.25 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·3.5 = 70·1 + 14·3.25

R_B = 115.5/3.5 = 33 kN

R_A = 84 − 33 = 51 kN

答案

R_A = 51 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −15.63 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 → C_y = 37.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37.5 = 12.5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12.5/0.8 = −15.63 kN

答案

F_AB = −15.63 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −58.93 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·2 − 25·2 → C_y = 8.333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 8.333 = 41.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −41.67/0.7071 = −58.93 kN

答案

F_AB = −58.93 kN (受压)

7.框架与机器

答案: Q = 466.5 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 15° = 250

F_link = 483 N

夹紧力

Q = F_link·cos 15° = 250/(2·tan 15°) = 466.5 N

答案

Q = 466.5 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 1.866 会无限增大。

8.框架与机器

答案: T = 12.86 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y·3.2 = 15·2.4

B_y = 11.25 kN

腿 BC：对 C 取矩

11.25·1.6 = T·1.4

T = 12.86 kN

答案

T = 12.86 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

在 x = 9 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 10·9 − 2·9·4.5 = 9 kN·m

答案

M_x = 9 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 5 kN, R₂ = 70 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −70, M_D = −100, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −160 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 78.84 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·100 − 1963·120)/(24000 − 1963) = 98.22 mm

完整的板关于 ȳ

120·200³/12 + 24000·1.782² = 80.08 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·21.78² = 1.238 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 78.84 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 78.84 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 223.9 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (48000·120 − 4000·156)/(48000 − 4000) = 116.7 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·3.273² = 230.9 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·50³/12 + 4000·39.27² = 7.003 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 223.9 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 223.9 × 10⁶ mm⁴

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