静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−4, 1, 5) 在 b = (6, −2, 1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−4, 1, 5)b = (6, −2, 1)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−1, 4, 1) 和 b = (−6, 4, 2)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)_y。

a = (−1, 4, 1)b = (−6, 4, 2)

(a × b)_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 25 kN 位于 1 mP₂ = 60 kN 位于 5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 10 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 55 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 15 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 1.35 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.012 m，作用 10 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 10 kNL = 3 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 1.35 mA 到 K 的水平距离 = 1.012 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 高 3 m，位于 A 右侧 1.8 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.72 m 处承受 10 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 3 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 10 kNQ = 3 kNL = 3 mH = 3 mA 到 B 的水平距离 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.72 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 25 kN·m，没有其他荷载。求力偶右侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mM₀ = 25 kN·m 顺时针，作用于 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 30 kN 位于 5 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 40 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mm切口: 40 × 50 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −3.28

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−4)·6 + 1·(−2) + 5·1 = −21

b 的长度

|b| = √(6² + (−2)² + 1²) = 6.403

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −21/6.403 = −3.28

答案

comp_b a = −3.28

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_y = −4

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·2 − 1·4 = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−6) − (−1)·2 = −4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·4 − 4·(−6) = 20

所求分量

(a × b)_y = −4

答案

(a × b)_y = −4

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_B = 54.17 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1 + 60·5

R_B = 325/6 = 54.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 54.17 = 30.83 kN

答案

R_B = 54.17 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 32.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4 + 10·5·2.5

R_B = 165/6 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 27.5 = 32.5 kN

答案

R_A = 32.5 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −44.07 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·4 → C_y = 36.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 36.67 = 18.33 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36.67/0.8321 = −44.07 kN

答案

F_BC = −44.07 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −22.36 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·4 + 15·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 20 = −5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0.8944 = −22.36 kN

答案

F_BC = −22.36 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_BC = 4.375 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(1.65² + 2²) = 2.593 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/2.593)·3 = 10·1.012

F_BC = 4.375 kN （压缩）

答案

F_BC = 4.375 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 0.84 kN

BC 的方向

BC = 3.231 m, cos = 0.3714, sin = 0.9285

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.9285·3 = 10·0.72 + 3·3

F_BC = 5.816 kN

水平平衡

A_x + 3 − 5.816·0.3714 = 0

A_x = −0.84 kN → |A_x| = 0.84 kN

答案

A_x = 0.84 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 15 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 25/5 = 5 kN (向上)

R_A = −R_B = −5 kN (向下)

在力偶右侧紧邻处截开

左侧部分现在包含 R_A 和力偶。

M_x = R_A·a + M₀ = −5·2 + 25 = 15 kN·m

答案

M_x = 15 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 65.63 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·5 + 10·8·4

R_B = 470/8 = 58.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 58.75 = 51.25 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 51.25·1.5 − 10·1.5·0.75 = 65.63 kN·m

答案

M_x = 65.63 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 8.077 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127.5 mm

腹板: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·127.5 + 1920·60)/5520 = 104 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·15³/12 + 3600·(127.5 − 104)² = 2.052 × 10⁶ mm⁴

腹板: 16·120³/12 + 1920·(60 − 104)² = 6.025 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.052 × 10⁶ + 6.025 × 10⁶ = 8.077 × 10⁶ mm⁴ = 8.077 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 8.077 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (45000·150 − 2000·105)/(45000 − 2000) = 152.1 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·−2.093² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·50³/12 + 2000·−47.09² = 4.852 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

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