静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−10, 25, 15) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(3, −5, 3) 运动到点 B(4, −4, 4)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−10, 25, 15) NA(3, −5, 3) mB(4, −4, 4) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−3, −1, −2) 和 b = (0, −1, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (−3, −1, −2)b = (0, −1, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 20 kN 位于 1.5 mP₂ = 15 kN 位于 2 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 15 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 2.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 15 kN/mP = 30 kN 位于 2.5 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓D: 25 kN ↓F: 25 kN →

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1 m。B 处悬挂 10 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 10 kNAD = 2 mAB = 2.4 mAC = 1 m

A = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 3 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.8 m，作用 2 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 2 kNAB = 4 mC 的高度 = 3 mDE 的高度 = 0.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.8 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mw = 24 kN/m，从 5 到 8 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 130 mm、厚 22 mm，总高度 200 mm，腹板厚 6 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 130 mmH = 200 mmt_f = 22 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 300 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 300 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 30 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (4, −4, 4) − (3, −5, 3) = (1, 1, 1) m

功

W = F·d = (−10)·1 + 25·1 + 15·1 = 30 J

答案

W = 30 J

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.5121

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·2 − (−2)·(−1) = −4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·0 − (−3)·2 = 6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−1) − (−1)·0 = 3

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−4)² + 6² + 3²) = 7.81

n̂ = (−4, 6, 3)/7.81 = (−0.5121, 0.7682, 0.3841)

n̂_x = −0.5121

答案

n̂_x = −0.5121

3.梁的支座反力

答案: R_B = 10 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1.5 + 15·2

R_B = 60/6 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 10 = 25 kN

答案

R_B = 10 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 115 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·15·4 = 30 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 30·1.333 + 30·2.5 = 115 kN·m

答案

M_A = 115 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 5 = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0.7071 = −7.071 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7.071)·0.7071 = 5 kN

答案

F_AC = 5 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 32.5 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 10.61 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 3.536 kN (C), HC: 3.536 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: A = 24.08 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 10·2.4/(0.4472·2) = 26.83 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 24 kN （指向墙）

A_y = 10 − F_CD·sin α = −2 kN

模

A = √(24² + −2²) = 24.08 kN

答案

A = 24.08 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: C = 0.5406 kN

B 处的支座反力

B_y = 2·0.8/4 = 0.4 kN

拉杆力

T = 0.4·2/2.2 = 0.3636 kN

BC 上的销钉力

C_x = 0.3636 kN, C_y = −0.4 kN

C = √(0.3636² + 0.4²) = 0.5406 kN

答案

C = 0.5406 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 6.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 15·0.5 − 6·0.5·0.25 = 6.75 kN·m

答案

M_x = 6.75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 71.3 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN，作用于 x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·3·6.5

R_B = 468/8 = 58.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 58.5 = 13.5 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 5) = 0

x₀ = 5 + 13.5/24 = 5.563 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 5)²/2 = 13.5·5.563 − 24·0.5625²/2 = 71.3 kN·m

答案

M_max = 71.3 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 47.44 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 200 − 2·22 = 156 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·200³ − 124·156³)/12

I_x = 4.744 × 10⁷ mm⁴ = 47.44 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 47.44 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·150 − 2500·120)/(30000 − 2500) = 152.7 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·−2.727² = 225.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·50³/12 + 2500·−32.73² = 3.199 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

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