静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−1, 0, −4) 与 b = (6, 3, 1) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−1, 0, −4)b = (6, 3, 1)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (4, 3, 5)、b = (3, 4, −2) 和 c = (−1, −4, 2)。

a = (4, 3, 5)b = (3, 4, −2)c = (−1, −4, 2)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 40 kN 位于 1.5 mP₂ = 40 kN 位于 2.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 0.5 m 处承受集中荷载 P，并从 3 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 3 mAC = 4 mP = 75 kN 位于 0.5 mw = 5 kN/m，从 3 到 4 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓H: 35 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 0.9 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.45 m，作用 12 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 12 kNL = 3 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 0.9 mA 到 K 的水平距离 = 0.45 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1 m。B 处悬挂 10 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 10 kNW_b = 0.5 kNAB = 2 mAC = 1 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 15 kN 位于 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 150 mm 的板有一个宽 80 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 90 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mm切口: 80 × 30 mm孔心: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 111 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−1)·6 + 0·3 + (−4)·1 = −10

模

|a| = √((−1)² + 0² + (−4)²) = 4.123

|b| = √(6² + 3² + 1²) = 6.782

相角

cos θ = −10/(4.123·6.782) = −0.3576

θ = arccos(−0.3576) = 111°

答案

θ = 111°

2.向量：点积和叉积

答案: V = 52

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·2 − (−2)·(−4) = 0

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·(−1) − 3·2 = −4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·(−4) − 4·(−1) = −8

与 a 的点积

a·(b × c) = 4·0 + 3·(−4) + 5·(−8) = −52

V = |−52| = 52

答案

V = 52

3.梁的支座反力

答案: R_B = 26.67 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·1.5 + 40·2.5

R_B = 160/6 = 26.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 26.67 = 53.33 kN

答案

R_B = 26.67 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 18.33 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 5·1 = 5 kN, x̄ = (3 + 4)/2 = 3.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 75·0.5 + 5·3.5

R_B = 55/3 = 18.33 kN

R_A = 80 − 18.33 = 61.67 kN

答案

R_B = 18.33 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 37.5 kN (T), BC: 37.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 53.03 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 10.61 kN (T), HC: 24.75 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 5.625 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 15.62 kN (T), FG: 40.63 kN (C), GH: 50.63 kN (C), AF: 67.71 kN (C), HE: 26.04 kN (C), BF: 54.17 kN (T), CG: 0, DH: 5.833 kN (T), BG: 23.96 kN (C), DG: 7.292 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_BC = 2.61 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(2.1² + 2²) = 2.9 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/2.9)·3 = 12·0.45

F_BC = 2.61 kN （压缩）

答案

F_BC = 2.61 kN

8.框架与机器

答案: A = 20.5 kN

缆绳拉力

T = (10 + 0.5/2)/0.4472 = 22.92 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 20.5 kN

A_y = 10 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(20.5² + 0.25²) = 20.5 kN

答案

A = 20.5 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 7.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 8·1.5 − 4·1.5·0.75 = 7.5 kN·m

答案

M_x = 7.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 19 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·4 + 8·5·2.5

R_B = 160/5 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 32 = 23 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 23·1 − 8·1·0.5 = 19 kN·m

答案

M_x = 19 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 11.27 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

腹板: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·170 + 1600·80)/4000 = 134 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·20³/12 + 2400·(170 − 134)² = 3.19 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·160³/12 + 1600·(80 − 134)² = 8.079 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.19 × 10⁶ + 8.079 × 10⁶ = 1.127 × 10⁷ mm⁴ = 11.27 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 11.27 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 41.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 2400·90)/(22500 − 2400) = 73.21 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·1.791² = 42.26 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·30³/12 + 2400·16.79² = 0.8567 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 41.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 41.4 × 10⁶ mm⁴

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