静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−3, −1, −7) 在 b = (4, −2, −1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−3, −1, −7)b = (4, −2, −1)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (0, 5, −1) 和 b = (−4, 4, −1) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (0, 5, −1)b = (−4, 4, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 55 kN 位于 3 mP₂ = 50 kN 位于 6 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 1 m 处的集中荷载 Q。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 3 mAD = 8 mP = 50 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 3 到 8 mQ = 25 kN 位于 1 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 30 kN →

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 8° 角。B 处施加 300 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 300 Nθ = 8°

Q = N

8.框架与机器困难

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 5 kNW_b = 1 kNAB = 3 mAC = 1.5 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 65 kN 位于 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 60 kN 位于 3 mw = 3 kN/m，从 0 到 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mm孔心: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −0.6547

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−3)·4 + (−1)·(−2) + (−7)·(−1) = −3

b 的长度

|b| = √(4² + (−2)² + (−1)²) = 4.583

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −3/4.583 = −0.6547

答案

comp_b a = −0.6547

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.04897

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−1) − (−1)·4 = −1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−4) − 0·(−1) = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·4 − 5·(−4) = 20

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−1)² + 4² + 20²) = 20.42

n̂ = (−1, 4, 20)/20.42 = (−0.04897, 0.1959, 0.9794)

n̂_x = −0.04897

答案

n̂_x = −0.04897

3.梁的支座反力

答案: R_A = 46.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·3 + 50·6

R_B = 465/8 = 58.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 58.13 = 46.88 kN

答案

R_A = 46.88 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 220 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 10·5 = 50 kN 位于 2.5 m ，量自 C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 50·1 + 50·2.5

R_D = 35 kN

V_C = 100 − 35 = 65 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 25 + 65 = 90 kN

M_A = 25·1 + 65·3 = 220 kN·m

答案

M_A = 220 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 7.5 kN (T), BC: 5 kN (T), CD: 5 kN (T), DE: 2.5 kN (T), FG: 7.5 kN (C), GH: 2.5 kN (C), AF: 10.61 kN (C), HE: 3.536 kN (C), BF: 2.5 kN (C), CG: 0, DH: 2.5 kN (T), BG: 3.536 kN (T), DG: 3.536 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −29.63 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·1 + 30·4 → C_y = 21.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 21.25 = 28.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −28.75/0.9701 = −29.63 kN

答案

F_AB = −29.63 kN (受压)

7.框架与机器

答案: Q = 1067 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 8° = 300

F_link = 1078 N

夹紧力

Q = F_link·cos 8° = 300/(2·tan 8°) = 1067 N

答案

Q = 1067 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 3.558 会无限增大。

8.框架与机器

答案: A = 11.01 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (5 + 1/2)/0.4472 = 12.3 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 11 kN

A_y = 5 + 1 − T·sin β = 0.5 kN

模

A = √(11² + 0.5²) = 11.01 kN

答案

A = 11.01 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −324 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −65·4 = −260 kN·m

w: −8·4²/2 = −64 kN·m

M_A = −260 − 64 = −324 kN·m

答案

M_A = −324 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 135 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·3 + 3·8·4

R_B = 276/8 = 34.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 34.5 = 49.5 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 49.5·3 − 3·3·1.5 = 135 kN·m

答案

M_x = 135 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 706.9·80)/(20000 − 706.9) = 100.7 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·−0.7328² = 66.68 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−20.73² = 0.3436 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 164.7 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

腹板: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·195 + 1800·90)/8400 = 172.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·30³/12 + 6600·(195 − 172.5)² = 3.836 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·180³/12 + 1800·(90 − 172.5)² = 1.711 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.836 × 10⁶ + 1.711 × 10⁷ = 2.095 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 172.5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·172.5/2.095 × 10⁷ = 164.7 MPa

答案

σ_底部 = 164.7 MPa

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