静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzab

求 a = (5, −4, 4) 在 b = (−1, 1, −6) 上的标量投影 compb a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (5, −4, 4)b = (−1, 1, −6)
compb a =
2.向量：点积和叉积困难
xyzab

对于 a = (−6, 3, 1) 和 b = (−5, 5, 5)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)z。

a = (−6, 3, 1)b = (−5, 5, 5)
(a × b)z =
3.梁的支座反力中等
P = 25 kNM = 15 kN·mABRB​ = ?4 m2 m4 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 6 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 4 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。

L = 10 mP = 25 kN 位于 6 mM = 15 kN·m (顺时针) 位于 4 m
RB = kN
4.梁的支座反力困难
w = 10 kN/mP = 75 kNABCRB​ = ?1.5 m1 m0.5 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2.5 m 处承受集中荷载 P，并从 1.5 m 到位于 5 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 3 mAC = 5 mP = 75 kN 位于 2.5 mw = 10 kN/m，从 1.5 到 5 m
RB = kN
5.桁架：节点法中等
ABCDEFGH30 kN10 kN4 × 4 m3 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓F: 10 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 BG
  13. 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB25 kN30 kN4 m3 m2 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 30 kN ←
FAB = kN
7.框架与机器中等
OAB100 NQ150 mm100 mmFO​ = ?

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 150 mm）的 100 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 100 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 FO。

F = 100 NOA = 150 mmOB = 100 mm
FO = N
8.框架与机器困难
6 kN6 kN6 m4 m3.6 mABCK

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 6 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 3.6 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 1.8 m 处承受 6 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 6 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 Ax。

P = 6 kNQ = 6 kNL = 6 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 3.6 mA 到 K 的水平距离 = 1.8 m
Ax = kN
9.剪力和弯矩中等
w = 3 kN/mP = 50 kNAB截面0.5 m3.5 m

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P。 求在距固定端 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 50 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
10.剪力和弯矩困难
w = 12 kN/mP = 35 kNAB6 m4 m

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 10 mP = 35 kN 位于 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 10 m
Mmax = kN·m
11.形心和惯性矩中等
150 mm150 mm105 mmØ30xIx​ = ?

一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
150 mm200 mm80 mm30 × 40xIx​ = ?

一块 150 mm × 200 mm 的板有一个宽 30 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 150 mmh = 200 mm切口: 30 × 40 mm孔心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: compb a = −5.353

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 5·(−1) + (−4)·1 + 4·(−6) = −33

b 的长度

|b| = √((−1)² + 1² + (−6)²) = 6.164

标量投影

compb a = a·b/|b| = −33/6.164 = −5.353

答案

compb a = −5.353

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)z = −15

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)x = aybz − azby = 3·5 − 1·5 = 10
(a × b)y = azbx − axbz = 1·(−5) − (−6)·5 = 25
(a × b)z = axby − aybx = (−6)·5 − 3·(−5) = −15

所求分量

(a × b)z = −15

答案

(a × b)z = −15

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: RB = 16.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·10 − 25·6 − 15 = 0
RB = 165/10 = 16.5 kN

竖向平衡

RA = 25 − 16.5 = 8.5 kN

答案

RB = 16.5 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: RB = 100.4 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 10·3.5 = 35 kN, x̄ = (1.5 + 5)/2 = 3.25 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·3 = 75·2.5 + 35·3.25
RB = 301.3/3 = 100.4 kN
RA = 110 − 100.4 = 9.583 kN

答案

RB = 100.4 kN
5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40 kN (T), BC: 26.67 kN (T), CD: 26.67 kN (T), DE: 13.33 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 13.33 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 16.67 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 16.67 kN (T), DG: 16.67 kN (C)

答案

零杆: CG
6.桁架：节点法

答案: FAB = −38.31 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 − 30·2 → Cy = 3.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 3.75 = 21.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21.25/0.5547 = −38.31 kN

答案

FAB = −38.31 kN (受压)
7.框架与机器

答案: FO = 180.3 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，Fin·a = Fout·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 100·150/100 = 150 N

销钉反力

Ox = 150 N, Oy = 100 N
FO = √(150² + 100²) = 180.3 N

答案

FO = 180.3 N
8.框架与机器

答案: Ax = 2.52 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

BC 的方向

BC = 4.665 m, cos = 0.5145, sin = 0.8575

整个框架：对 A 取矩

FBC·0.8575·6 = 6·1.8 + 6·4
FBC = 6.764 kN

水平平衡

Ax + 6 − 6.764·0.5145 = 0
Ax = −2.52 kN → |Ax| = 2.52 kN

答案

Ax = 2.52 kN

负号表示 Ax 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: Mx = −193.4 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −50·3.5 = −175 kN·m
w: −3·3.5²/2 = −18.38 kN·m
Mx = −175 − 18.38 = −193.4 kN·m

答案

Mx = −193.4 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: Mmax = 228 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·6 + 12·10·5
RB = 810/10 = 81 kN
ΣFy = 0: RA = 155 − 81 = 74 kN

V = 0 在哪里？

V(6⁻) = RA − w·6 = 2 kN
V(6⁺) = 2 − 35 = −33 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

Mmax = RA·6 − w·6²/2 = 74·6 − 12·6²/2 = 228 kN·m

答案

Mmax = 228 kN·m

它出现在距 A 为 x = 6 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: Ix = 41.49 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 706.9·105)/(22500 − 706.9) = 74.03 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·0.973² = 42.21 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·30.97² = 0.7179 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 41.49 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 41.49 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: Ix = 99.34 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·100 − 1200·80)/(30000 − 1200) = 100.8 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·−0.8333² = 100 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·40³/12 + 1200·−20.83² = 0.6808 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 99.34 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 99.34 × 10⁶ mm⁴

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