静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (5, 10, 25) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(4, 1, −5) 运动到点 B(3, 4, −4)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (5, 10, 25) NA(4, 1, −5) mB(3, 4, −4) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (1, 2, 5) 和 b = (4, −1, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (1, 2, 5)b = (4, −1, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 45 kN 位于 5 mP₂ = 45 kN 位于 6 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mP = 45 kN 位于 1 mw = 12 kN/m，从 1 到 2 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓D: 35 kN ↓F: 40 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓F: 25 kN ↓H: 20 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 5° 角。B 处施加 200 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 200 Nθ = 5°

Q = N

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4.8 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4 m，并由高度为 1.2 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 2 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 2 kNAB = 4.8 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 1.2 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 15 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 30 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mm切口: 30 × 50 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 50 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (3, 4, −4) − (4, 1, −5) = (−1, 3, 1) m

功

W = F·d = 5·(−1) + 10·3 + 25·1 = 50 J

答案

W = 50 J

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.8165

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·2 − 5·(−1) = 9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·4 − 1·2 = 18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·(−1) − 2·4 = −9

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(9² + 18² + (−9)²) = 22.05

n̂ = −(9, 18, −9)/22.05 = (−0.4082, −0.8165, 0.4082)

n̂_y = −0.8165

答案

n̂_y = −0.8165

3.梁的支座反力

答案: R_B = 49.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·5 + 45·6

R_B = 495/10 = 49.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 49.5 = 40.5 kN

答案

R_B = 49.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 15.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1 + 12·1·1.5

R_B = 63/4 = 15.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 15.75 = 41.25 kN

答案

R_B = 15.75 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 67.5 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 62.5 kN (T), FG: 67.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 95.46 kN (C), HE: 88.39 kN (C), BF: 27.5 kN (T), CG: 0, DH: 37.5 kN (T), BG: 3.536 kN (T), DG: 3.536 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 18.75 kN (T), BC: 17.5 kN (T), CD: 17.5 kN (T), DE: 16.25 kN (T), FG: 28.75 kN (C), GH: 26.25 kN (C), AF: 47.92 kN (C), HE: 27.08 kN (C), BF: 13.33 kN (T), CG: 0, DH: 1.667 kN (T), BG: 2.083 kN (T), DG: 2.083 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: Q = 1143 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 5° = 200

F_link = 1147 N

夹紧力

Q = F_link·cos 5° = 200/(2·tan 5°) = 1143 N

答案

Q = 1143 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 5.715 会无限增大。

8.框架与机器

答案: T = 1.429 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y·4.8 = 2·4

B_y = 1.667 kN

腿 BC：对 C 取矩

1.667·2.4 = T·2.8

T = 1.429 kN

答案

T = 1.429 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 3 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 15 − 6·2 = 3 kN

答案

V_x = 3 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 32.81 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1.5 + 10·4·2

R_B = 102.5/4 = 25.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 25.63 = 29.38 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 29.38·1.5 − 10·1.5·0.75 = 32.81 kN·m

答案

M_x = 32.81 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 65.45 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 706.9·60)/(20000 − 706.9) = 101.5 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·−1.466² = 66.71 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−41.47² = 1.255 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 65.45 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 65.45 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 331.6 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (45000·150 − 1500·210)/(45000 − 1500) = 147.9 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·2.069² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·50³/12 + 1500·62.07² = 6.091 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 331.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 331.6 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics