静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (1, −1, −3) 与 b = (0, 5, −4) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (1, −1, −3)b = (0, 5, −4)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (60, 60, 40) N 作用在点 A(−2, −3, 1)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的大小 |M|。

F = (60, 60, 40) NA(−2, −3, 1) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 60 kN 位于 1 mP₂ = 50 kN 位于 4 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 0.5 m 处承受集中荷载 P，并从 4.5 m 到位于 6 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 4.5 mAC = 6 mP = 25 kN 位于 0.5 mw = 5 kN/m，从 4.5 到 6 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓C: 15 kN ↓D: 10 kN ↓F: 35 kN ↓F: 40 kN →

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m，顶部销钉 C 高 2 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.4 m，作用 4 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 4 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 2 mDE 的高度 = 0.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.4 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 1.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.125 m，作用 2 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 2 kNAB = 3 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 1.125 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 20 kN 位于 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 90 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 70.75 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 1·0 + (−1)·5 + (−3)·(−4) = 7

模

|a| = √(1² + (−1)² + (−3)²) = 3.317

|b| = √(0² + 5² + (−4)²) = 6.403

相角

cos θ = 7/(3.317·6.403) = 0.3296

θ = arccos(0.3296) = 70.75°

答案

θ = 70.75°

2.向量：点积和叉积

答案: |M| = 235.8 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−2, −3, 1) − (0, 0, 0) = (−2, −3, 1) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·40 − 1·60 = −180 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·60 − (−2)·40 = 140 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·60 − (−3)·60 = 60 N·m

模

|M| = √((−180)² + 140² + 60²) = 235.8 N·m

答案

|M| = 235.8 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 26 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·1 + 50·4

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 26 = 84 kN

答案

R_B = 26 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 11.53 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 5·1.5 = 7.5 kN, x̄ = (4.5 + 6)/2 = 5.25 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 25·0.5 + 7.5·5.25

R_B = 51.88/4.5 = 11.53 kN

R_A = 32.5 − 11.53 = 20.97 kN

答案

R_B = 11.53 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 66.67 kN (T), DE: 66.67 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 83.33 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 50 kN (T), HC: 16.67 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 77.5 kN (T), BC: 77.5 kN (T), CD: 37.5 kN (T), DE: 37.5 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 53.03 kN (C), HE: 53.03 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 17.68 kN (C), HC: 38.89 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 0.6667 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 4·0.4/3.2 = 0.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

0.5·1.6 = T·1.2

T = 0.6667 kN

答案

T = 0.6667 kN

8.框架与机器

答案: C = 0.9077 kN

B 处的支座反力

B_y = 2·1.125/3 = 0.75 kN

拉杆力

T = 0.75·1.5/2.2 = 0.5114 kN

BC 上的销钉力

C_x = 0.5114 kN, C_y = −0.75 kN

C = √(0.5114² + 0.75²) = 0.9077 kN

答案

C = 0.9077 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 8 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 16 − 8·1 = 8 kN

答案

V_x = 8 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 200 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·5 + 12·10·5

R_B = 700/10 = 70 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 70 = 70 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 70·5 − 12·5·2.5 = 200 kN·m

答案

M_x = 200 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 56.43 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

腹板: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·235 + 3960·110)/11160 = 190.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·30³/12 + 7200·(235 − 190.6)² = 1.47 × 10⁷ mm⁴

腹板: 18·220³/12 + 3960·(110 − 190.6)² = 4.173 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.47 × 10⁷ + 4.173 × 10⁷ = 5.643 × 10⁷ mm⁴ = 56.43 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 56.43 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 6.316 kN·m

形心

ȳ = (4200·167.5 + 1280·80)/5480 = 147.1 mm

上边缘: c = 175 − 147.1 = 27.94 mm

惯性矩

I = 280·15³/12 + 4200·20.44² + 8·160³/12 + 1280·67.06² = 1.032 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 35·1.032 × 10⁷/27.94 = 12.93 kN·m

下边缘: M = 90·1.032 × 10⁷/147.1 = 6.316 kN·m

控制值

M_allow = min = 6.316 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 6.316 kN·m

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