静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (0, 6, 3) 与 b = (−3, k, 2) 垂直的 k 的值。

a = (0, 6, 3)b = (−3, k, 2)

k =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−5, 3, −3) 和 b = (0, −3, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−5, 3, −3)b = (0, −3, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 25 kN 位于 2 mP₂ = 45 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 6 kN/m；另在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 5 mw₀ = 6 kN/mP = 80 kN 位于 4 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓C: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 35 kN ↓H: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 15 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 5 m，顶部销钉 C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.875 m，作用 8 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 8 kNAB = 5 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 1.875 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 0.75 m）。梁在全长上承受 4 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 10 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 4 kN/mP = 10 kNAD = 1.5 mAB = 2 mAC = 0.75 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 0 m15 kN @ 12 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 110 mm、厚 12 mm，总高度 200 mm，腹板厚 10 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 110 mmH = 200 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −1

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 0·(−3) + 6·k + 3·2 = 0

6 + 6·k = 0

解出 k

k = −6/6 = −1

答案

k = −1

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.5472

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·2 − (−3)·(−3) = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·0 − (−5)·2 = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−3) − 3·0 = 15

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−3)² + 10² + 15²) = 18.28

n̂ = (−3, 10, 15)/18.28 = (−0.1642, 0.5472, 0.8208)

n̂_y = 0.5472

答案

n̂_y = 0.5472

3.梁的支座反力

答案: R_A = 24.17 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2 + 45·5

R_B = 275/6 = 45.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 45.83 = 24.17 kN

答案

R_A = 24.17 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 370 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·5 = 15 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 15·3.333 + 80·4 = 370 kN·m

答案

M_A = 370 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 78.75 kN (T), BC: 78.75 kN (T), CD: 81.25 kN (T), DE: 81.25 kN (T), FG: 92.5 kN (C), GH: 92.5 kN (C), AF: 111.4 kN (C), HE: 114.9 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 19.45 kN (T), HC: 15.91 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −25.46 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·2 − 15·2 → C_y = 2 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 2 = 18 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18/0.7071 = −25.46 kN

答案

F_AB = −25.46 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 5.769 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 8·1.875/5 = 3 kN

腿 BC：对 C 取矩

3·2.5 = T·1.3

T = 5.769 kN

答案

T = 5.769 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 41.74 kN

均布载荷的合力

w·L = 4·2 = 8 kN 位于 1 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.4472·1.5 = 8·1 + 10·2 = 28 kN·m

F_CD = 41.74 kN

答案

F_CD = 41.74 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 18 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 36 − 12·1.5 = 18 kN

答案

V_x = 18 kN

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 39.33 kN, R₂ = 57.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −20, M_C = 14.67, M_D = 1.333, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −60 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 27.9 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 200 − 2·12 = 176 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·200³ − 100·176³)/12

I_x = 2.79 × 10⁷ mm⁴ = 27.9 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 27.9 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 68.66 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

腹板: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·185 + 2520·90)/4520 = 132 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·10³/12 + 2000·(185 − 132)² = 5.627 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·180³/12 + 2520·(90 − 132)² = 1.126 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.627 × 10⁶ + 1.126 × 10⁷ = 1.688 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 190 − 132 = 57.96 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·57.96/1.688 × 10⁷ = 68.66 MPa

答案

σ_顶部 = 68.66 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics