静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−4, 1, −3) 与 b = (1, −3, 3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−4, 1, −3)b = (1, −3, 3)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (20, −40, 40) N 作用在点 A(−4, 4, 0)。坐标单位为米。求该力对点 O(1, 0, −3) 的力矩的大小 |M|。

F = (20, −40, 40) NA(−4, 4, 0) mO(1, 0, −3) m

|M| = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mP₁ = 25 kN 位于 1 mP₂ = 45 kN 位于 1.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 30 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 6 到 7 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 40 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 10 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。C 处作用 15 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 15 kNAB = 6 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 1.2 m

C = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 15 kNW_b = 0.5 kNAB = 4 mAC = 1.5 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 5 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 50 kN·m，没有其他荷载。求力偶右侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mM₀ = 50 kN·m 顺时针，作用于 5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 8 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 80 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 240 mm切口: 80 × 30 mm孔心: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 136 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−4)·1 + 1·(−3) + (−3)·3 = −16

模

|a| = √((−4)² + 1² + (−3)²) = 5.099

|b| = √(1² + (−3)² + 3²) = 4.359

相角

cos θ = −16/(5.099·4.359) = −0.7199

θ = arccos(−0.7199) = 136°

答案

θ = 136°

2.向量：点积和叉积

答案: |M| = 400.5 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−4, 4, 0) − (1, 0, −3) = (−5, 4, 3) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 4·40 − 3·(−40) = 280 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·20 − (−5)·40 = 260 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−5)·(−40) − 4·20 = 120 N·m

模

|M| = √(280² + 260² + 120²) = 400.5 N·m

答案

|M| = 400.5 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 23.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1 + 45·1.5

R_B = 92.5/4 = 23.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 23.13 = 46.88 kN

答案

R_B = 23.13 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 25.2 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·3 + 12·1·6.5

R_B = 168/10 = 16.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 16.8 = 25.2 kN

答案

R_A = 25.2 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −28.84 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·3 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 24 = 16 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24/0.8321 = −28.84 kN

答案

F_BC = −28.84 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 10 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 − 10·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 5 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0.4472 = −11.18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11.18)·0.8944 = 10 kN

答案

F_AC = 10 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: C = 12.01 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 7.5 kN

T = 7.5·3/2.4 = 9.375 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 9.375 kN, C_y = −B_y = −7.5 kN

模

C = √(9.375² + 7.5²) = 12.01 kN

答案

C = 12.01 kN

8.框架与机器

答案: T = 43.43 kN

缆绳角

BC = √(4² + 1.5²) = 4.272 m, sin β = 0.3511

对 A 取矩

T·0.3511·4 = 15·4 + 0.5·2

T = 43.43 kN

答案

T = 43.43 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 18.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 50/8 = 6.25 kN (向上)

R_A = −R_B = −6.25 kN (向下)

在力偶右侧紧邻处截开

左侧部分现在包含 R_A 和力偶。

M_x = R_A·a + M₀ = −6.25·5 + 50 = 18.75 kN·m

答案

M_x = 18.75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 17.78 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·8·4

R_B = 160/6 = 26.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26.67 = 13.33 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 13.33/5 = 2.667 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 13.33²/(2·5) = 17.78 kN·m

答案

M_max = 17.78 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 38.64 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 2827·105)/(22500 − 2827) = 70.69 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·4.312² = 42.61 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34.31² = 3.965 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 38.64 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 38.64 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (36000·120 − 2400·96)/(36000 − 2400) = 121.7 mm

完整的板关于 ȳ

150·240³/12 + 36000·−1.714² = 172.9 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·30³/12 + 2400·−25.71² = 1.767 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics