静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−6, −5, 0) 与 b = (3, 5, 2) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−6, −5, 0)b = (3, 5, 2)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−20, 60, −10) N 作用在点 A(3, −3, −4)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (−20, 60, −10) NA(3, −3, −4) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 4 kN/m。距 A 为 2 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 60 kN 位于 2 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 1.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 60°；距 A 为 3.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 6 mP = 25 kN 位于 1.5 m, θ = 60°Q = 75 kN 位于 3.5 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 15 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 5 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m，顶部销钉 C 高 3 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.9 m，作用 8 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 8 kNAB = 3 mC 的高度 = 3 mDE 的高度 = 1 mA 到 K 的水平距离 = 0.9 m

T = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 150 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 25 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 4000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 4000 NAB = BC = 150 mmh = 25 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP₁ = 70 kN 位于 4 mP₂ = 15 kN 位于 5 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 10 mw = 10 kN/m，从 3 到 8 m

x₀ = m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 300 mm 的板有一个宽 60 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 300 mm切口: 60 × 50 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 153.3 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−6)·3 + (−5)·5 + 0·2 = −43

模

|a| = √((−6)² + (−5)² + 0²) = 7.81

|b| = √(3² + 5² + 2²) = 6.164

相角

cos θ = −43/(7.81·6.164) = −0.8931

θ = arccos(−0.8931) = 153.3°

答案

θ = 153.3°

2.向量：点积和叉积

答案: M_x = 270 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (3, −3, −4) − (0, 0, 0) = (3, −3, −4) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·(−10) − (−4)·60 = 270 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·(−20) − 3·(−10) = 110 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·60 − (−3)·(−20) = 120 N·m

所求分量

M_x = 270 N·m

答案

M_x = 270 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 25.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·5.333 + 60·2

R_B = 25.67 kN

R_A = 76 − 25.67 = 50.33 kN

答案

R_B = 25.67 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 49.11 kN

P 的分量

P_v = 25·sin 60° = 21.65 kN

P_h = 25·cos 60° = 12.5 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·6 = 21.65·1.5 + 75·3.5 → R_B = 49.16 kN

A_y = 21.65 + 75 − 49.16 = 47.49 kN

A_x = P_h = 12.5 kN

A 处的合力

R_A = √(12.5² + 47.49²) = 49.11 kN

答案

R_A = 49.11 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 9 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·3 → C_y = 9 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 9 = 6 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9/0.7071 = −12.73 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−12.73)·0.7071 = 9 kN

答案

F_AC = 9 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 8.125 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·6 − 5·4 → C_y = 16.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 16.25 = 8.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16.25/0.8944 = −18.17 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18.17)·0.4472 = 8.125 kN

答案

F_AC = 8.125 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: T = 1.8 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 8·0.9/3 = 2.4 kN

腿 BC：对 C 取矩

2.4·1.5 = T·2

T = 1.8 kN

答案

T = 1.8 kN

8.框架与机器

答案: F = 1352 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 25/150 = 0.1667, θ = 9.594°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 4057 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 1352 N

答案

F = 1352 N

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 162.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·4 + 15·5

R_B = 355/8 = 44.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 44.38 = 40.63 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·4 = 40.63·4 = 162.5 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·3 = 44.38·3 = 133.1 kN·m

最大值

M_max = 162.5 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 162.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x₀ = 5.25 m

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·5·5.5

R_B = 275/10 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 27.5 = 22.5 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 22.5/10 = 5.25 m

答案

x₀ = 5.25 m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 5.09 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

腹板: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·125 + 1920·60)/2920 = 82.26 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·10³/12 + 1000·(125 − 82.26)² = 1.835 × 10⁶ mm⁴

腹板: 16·120³/12 + 1920·(60 − 82.26)² = 3.255 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.835 × 10⁶ + 3.255 × 10⁶ = 5.09 × 10⁶ mm⁴ = 5.09 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 5.09 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 438 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (60000·150 − 3000·210)/(60000 − 3000) = 146.8 mm

完整的板关于 ȳ

200·300³/12 + 60000·3.158² = 450.6 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·50³/12 + 3000·63.16² = 12.59 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 438 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 438 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics