静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (15, 25, 5) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−2, −5, −3) 运动到点 B(4, 5, −1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (15, 25, 5) NA(−2, −5, −3) mB(4, 5, −1) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−3, 3, 1) 和 b = (−4, −4, 3) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−3, 3, 1)b = (−4, −4, 3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 6 mP = 25 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 25 kN 位于 3.5 mw = 12 kN/m，从 2 到 3 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 30 kN ↓D: 25 kN ↓G: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 20 kN →

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1 m，作用 2 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 2 kNAB = 4 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 0.8 mA 到 K 的水平距离 = 1 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 4 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 0.6 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.3 m 处承受 6 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 6 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 6 kNQ = 6 kNL = 4 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 0.6 mA 到 K 的水平距离 = 0.3 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 45 kN 位于 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 110 mm，内径 d = 94 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 110 mmd = 94 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 140 × 22 mm，腹板高 390 mm、厚 8 mm，下翼缘为 210 × 24 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 140 × 22 mm腹板: 8 × 390 mm下翼缘: 210 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 350 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (4, 5, −1) − (−2, −5, −3) = (6, 10, 2) m

功

W = F·d = 15·6 + 25·10 + 5·2 = 350 J

答案

W = 350 J

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.1802

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·3 − 1·(−4) = 13

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−4) − (−3)·3 = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−4) − 3·(−4) = 24

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(13² + 5² + 24²) = 27.75

n̂ = (13, 5, 24)/27.75 = (0.4685, 0.1802, 0.8649)

n̂_y = 0.1802

答案

n̂_y = 0.1802

3.梁的支座反力

答案: R_A = 43 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m

竖向平衡

R_A = P + W = 25 + 18 = 43 kN

答案

R_A = 43 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 23.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3.5 + 12·1·2.5

R_B = 117.5/5 = 23.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 23.5 = 13.5 kN

答案

R_B = 23.5 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 51.67 kN (T), BC: 51.67 kN (T), CD: 68.33 kN (T), DE: 68.33 kN (T), FG: 103.3 kN (C), GH: 103.3 kN (C), AF: 64.58 kN (C), HE: 85.42 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 64.58 kN (T), HC: 43.75 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −2.253 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 + 20·2 → C_y = 43.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 43.75 = 1.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −1.25/0.5547 = −2.253 kN

答案

F_AB = −2.253 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 0.3125 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 2·1/4 = 0.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

0.5·2 = T·3.2

T = 0.3125 kN

答案

T = 0.3125 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 0.5175 kN

BC 的方向

BC = 5.25 m, cos = 0.6476, sin = 0.7619

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.7619·4 = 6·0.3 + 6·4

F_BC = 8.465 kN

水平平衡

A_x + 6 − 8.465·0.6476 = 0

A_x = −0.5175 kN → |A_x| = 0.5175 kN

答案

A_x = 0.5175 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 13.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 9·3 − 3·3·1.5 = 13.5 kN·m

答案

M_x = 13.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 262.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·5 + 12·10·5

R_B = 825/10 = 82.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 165 − 82.5 = 82.5 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 82.5·5 − 12·5·2.5 = 262.5 kN·m

答案

M_x = 262.5 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 36.17 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 2564 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.354 × 10⁶ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(3.354 × 10⁶/2564) = 36.17 mm

答案

r = 36.17 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 371.7 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 3080 mm², y = 425 mm

腹板: A = 3120 mm², y = 219 mm

下翼缘: A = 5040 mm², y = 12 mm

形心

ȳ = (3080·425 + 3120·219 + 5040·12)/11240 = 182.6 mm

平行移轴定理

上翼缘: 140·22³/12 + 3080·242.4² = 1.811 × 10⁸ mm⁴

腹板: 8·390³/12 + 3120·36.37² = 4.367 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 210·24³/12 + 5040·170.6² = 1.47 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.811 × 10⁸ + 4.367 × 10⁷ + 1.47 × 10⁸

I_x = 3.717 × 10⁸ mm⁴ = 371.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 371.7 × 10⁶ mm⁴

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