静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (4, 5, 1) 与 b = (−3, 2, 3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (4, 5, 1)b = (−3, 2, 3)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (0, 4, 6) 和 b = (−3, 0, −4) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (0, 4, 6)b = (−3, 0, −4)

A =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 50 kN 位于 5 mP₂ = 10 kN 位于 9 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 15 kN/m；另在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 15 kN/mP = 45 kN 位于 4 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓C: 25 kN ↓D: 15 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 20 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 6 m，B 在地面之上 2.5 m，且位于 A 右侧 1.8 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.9 m，作用 12 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 12 kNL = 6 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.9 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 1.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 3 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 12 kNW_b = 1.5 kNAB = 6 mAC = 3 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 4 mx = 3.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 4 mw = 24 kN/m，从 0 到 3 m

x₀ = m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 180 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 140 mm。底板和两肢厚度均为 20 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 180 mmh = 140 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 15 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 88.11 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 4·(−3) + 5·2 + 1·3 = 1

模

|a| = √(4² + 5² + 1²) = 6.481

|b| = √((−3)² + 2² + 3²) = 4.69

相角

cos θ = 1/(6.481·4.69) = 0.0329

θ = arccos(0.0329) = 88.11°

答案

θ = 88.11°

2.向量：点积和叉积

答案: A = 26.91

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−4) − 6·0 = −16

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·(−3) − 0·(−4) = −18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·0 − 4·(−3) = 12

面积

A = |a × b| = √((−16)² + (−18)² + 12²) = 26.91

答案

A = 26.91

3.梁的支座反力

答案: R_A = 26 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·5 + 10·9

R_B = 340/10 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 34 = 26 kN

答案

R_A = 26 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 260 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·15·4 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 30·2.667 + 45·4 = 260 kN·m

答案

M_A = 260 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 48.75 kN (T), BC: 48.75 kN (T), CD: 51.25 kN (T), DE: 51.25 kN (T), FG: 62.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 68.94 kN (C), HE: 72.48 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 19.45 kN (T), HC: 15.91 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 27.5 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 32.5 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 67.18 kN (C), HE: 45.96 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 3.536 kN (T), HC: 3.536 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_BC = 3.519 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(4.2² + 2.5²) = 4.888 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2.5/4.888)·6 = 12·0.9

F_BC = 3.519 kN （压缩）

答案

F_BC = 3.519 kN

8.框架与机器

答案: A = 25.51 kN

缆绳拉力

T = (12 + 1.5/2)/0.4472 = 28.51 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 25.5 kN

A_y = 12 + 1.5 − T·sin β = 0.75 kN

模

A = √(25.5² + 0.75²) = 25.51 kN

答案

A = 25.51 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −7.5 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 10 − 5·3.5 = −7.5 kN

答案

V_x = −7.5 kN

10.剪力和弯矩

答案: x₀ = 1.875 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·3·1.5

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 27 = 45 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 45/24 = 1.875 m

答案

x₀ = 1.875 m

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 50 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 180·20 = 3600 mm², y₁ = 10 mm

两肢: A₂ = 2·20·120 = 4800 mm², y₂ = 20 + 120/2 = 80 mm

形心

ȳ = (3600·10 + 4800·80)/8400 = 50 mm

答案

ȳ = 50 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 63.03 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232.5 mm

腹板: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·232.5 + 3520·110)/7020 = 171.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·25³/12 + 3500·(232.5 − 171.1)² = 1.339 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·220³/12 + 3520·(110 − 171.1)² = 2.733 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.339 × 10⁷ + 2.733 × 10⁷ = 4.072 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 171.1 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·171.1/4.072 × 10⁷ = 63.03 MPa

答案

σ_底部 = 63.03 MPa

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