静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (1, 0, −1) 与 b = (−3, 6, k) 垂直的 k 的值。

a = (1, 0, −1)b = (−3, 6, k)

k =

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(4, 4, −2)、B(0, −4, 0)、C(−2, −3, 2) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(4, 4, −2)B(0, −4, 0)C(−2, −3, 2)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 10 kN 位于 2 mP₂ = 30 kN 位于 2.5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 25 kN 位于 4 mw = 8 kN/m，从 1 到 4 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 20 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 20 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 120 mm）的 300 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 150 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 300 NOA = 120 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 5 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2 m，并由高度为 0.6 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 8 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 8 kNAB = 5 mC 的高度 = 2 mDE 的高度 = 0.6 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 20 kN 位于 7 mw = 10 kN/m，从 0 到 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 240 mm 的板有一个宽 30 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 84 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mm切口: 30 × 20 mm孔心: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 1·(−3) + 0·6 + (−1)·k = 0

−3 + (−1)·k = 0

解出 k

k = −(−3)/(−1) = −3

答案

k = −3

2.向量：点积和叉积

答案: A = 13.6 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (−4, −8, 2)

AC = C − A = (−6, −7, 4)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−8)·4 − 2·(−7) = −18

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·(−6) − (−4)·4 = 4

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−4)·(−7) − (−8)·(−6) = −20

|AB × AC| = √((−18)² + 4² + (−20)²) = 27.2

三角形的面积

A = ½·27.2 = 13.6 m²

答案

A = 13.6 m²

3.梁的支座反力

答案: R_A = 16.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 30·2.5

R_B = 95/4 = 23.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 23.75 = 16.25 kN

答案

R_A = 16.25 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 32 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·4 + 8·3·2.5

R_B = 160/5 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 32 = 17 kN

答案

R_B = 32 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 5.333 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·1 → C_y = 4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 4 = 16 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −4/0.6 = −6.667 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−6.667)·0.8 = 5.333 kN

答案

F_AC = 5.333 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −23.76 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·6 + 20·4 → C_y = 21.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 21.25 = −6.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21.25/0.8944 = −23.76 kN

答案

F_BC = −23.76 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_O = 384.2 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 300·120/150 = 240 N

销钉反力

O_x = 240 N, O_y = 300 N

F_O = √(240² + 300²) = 384.2 N

答案

F_O = 384.2 N

8.框架与机器

答案: T = 5.714 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y·5 = 8·2

B_y = 3.2 kN

腿 BC：对 C 取矩

3.2·2.5 = T·1.4

T = 5.714 kN

答案

T = 5.714 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 9 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 18 − 6·1.5 = 9 kN

答案

V_x = 9 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 90 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·7 + 10·8·4

R_B = 460/8 = 57.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 57.5 = 42.5 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 42.5·4 − 10·4·2 = 90 kN·m

答案

M_x = 90 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 24.65 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

腹板: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·225 + 2200·110)/4800 = 172.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·10³/12 + 2600·(225 − 172.3)² = 7.245 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·220³/12 + 2200·(110 − 172.3)² = 1.741 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.245 × 10⁶ + 1.741 × 10⁷ = 2.465 × 10⁷ mm⁴ = 24.65 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 24.65 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 137.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (28800·120 − 600·84)/(28800 − 600) = 120.8 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·−0.766² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·20³/12 + 600·−36.77² = 0.831 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 137.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 137.4 × 10⁶ mm⁴

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