静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzab

求向量 a = (−3, 1, 5) 与 b = (3, 6, 4) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−3, 1, 5)b = (3, 6, 4)
θ = °
2.向量：点积和叉积困难
xyzab

求由 a = (−2, −6, −3) 和 b = (4, 0, −6) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (−2, −6, −3)b = (4, 0, −6)
A =
3.梁的支座反力中等
w = 10 kN/mP = 10 kNABMA​ = ?1.5 m1 m1.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2.5 m 承受均布荷载 w，并在距墙 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 4 mP = 10 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 2.5 m
MA = kN·m
4.梁的支座反力困难
w = 3 kN/mP = 20 kNABCRA​ = ?4 m1 m3 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P，并从 4 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RA，以向上为正。

AB = 8 mAC = 10 mP = 20 kN 位于 5 mw = 3 kN/m，从 4 到 10 m
RA = kN
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB10 kN4 m1 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 10 kN
FAC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB25 kN30 kN4 m3 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 30 kN ←
FAB = kN
7.框架与机器中等
OAB80 NQ150 mm60 mmFO​ = ?

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 150 mm）的 80 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 60 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 FO。

F = 80 NOA = 150 mmOB = 60 mm
FO = N
8.框架与机器困难
15 kN4 m1 m1.5 m1.5 mABCDEK

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.5 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 15 kNAB = 4 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 1 mA 到 K 的水平距离 = 1.5 m
C = kN
9.剪力和弯矩中等
6 kN/m25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 4 m6 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.剪力和弯矩困难
4 kN/m10 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 12 m20 kN @ 4 m4 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.形心和惯性矩中等
180110t = 16x尺寸单位为 mm

槽形截面开口朝上：由宽 180 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 110 mm。底板和两肢厚度均为 16 mm。 求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

b = 180 mmh = 110 mmt = 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
3001530010xM = 50 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 50 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 300 mmM = 50 kN·m
σ顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 68.41 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−3)·3 + 1·6 + 5·4 = 17

模

|a| = √((−3)² + 1² + 5²) = 5.916
|b| = √(3² + 6² + 4²) = 7.81

相角

cos θ = 17/(5.916·7.81) = 0.3679
θ = arccos(0.3679) = 68.41°

答案

θ = 68.41°
2.向量：点积和叉积

答案: A = 49.48

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)x = aybz − azby = (−6)·(−6) − (−3)·0 = 36
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·4 − (−2)·(−6) = −24
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·0 − (−6)·4 = 24

面积

A = |a × b| = √(36² + (−24)² + 24²) = 49.48

答案

A = 49.48
3.梁的支座反力

答案: MA = 46.25 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 10·2.5 = 25 kN, x̄ = 1.25 m

对墙的力矩

MA = P·a + W·x̄ = 10·1.5 + 25·1.25 = 46.25 kN·m

答案

MA = 46.25 kN·m
4.梁的支座反力

答案: RA = 9.75 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 20·5 + 18·7
RB = 226/8 = 28.25 kN
RA = 38 − 28.25 = 9.75 kN

答案

RA = 9.75 kN
5.桁架：节点法

答案: FAC = 1.875 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·1 → Cy = 2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2.5 = 7.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2.5/0.8 = −3.125 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−3.125)·0.6 = 1.875 kN

答案

FAC = 1.875 kN (受拉)
6.桁架：节点法

答案: FAB = −45.31 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 − 30·4 → Cy = −11.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −11.25 = 36.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36.25/0.8 = −45.31 kN

答案

FAB = −45.31 kN (受压)
7.框架与机器

答案: FO = 215.4 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，Fin·a = Fout·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 80·150/60 = 200 N

销钉反力

Ox = 200 N, Oy = 80 N
FO = √(200² + 80²) = 215.4 N

答案

FO = 215.4 N
8.框架与机器

答案: C = 9.375 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

B 处的支座反力

By = 15·1.5/4 = 5.625 kN

拉杆力

T = 5.625·2/1.5 = 7.5 kN

BC 上的销钉力

Cx = 7.5 kN, Cy = −5.625 kN
C = √(7.5² + 5.625²) = 9.375 kN

答案

C = 9.375 kN
9.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 37.67 kN, R2 = 23.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 75.33, MC = 138.7 kN·m, MD = 128, ME = 93.33, MF = 46.67, MG = 0

答案

标记点 C: MC = 138.7 kN·m
10.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 30 kN, R2 = 40 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 52, MC = 88 kN·m, MD = 68, ME = 32, MF = −20, MG = 0

答案

标记点 C: MC = 88 kN·m
11.形心和惯性矩

答案: Ix = 6.727 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A1 = 180·16 = 2880 mm², y1 = 8 mm
两肢: A2 = 2·16·94 = 3008 mm², y2 = 16 + 94/2 = 63 mm

形心

ȳ = (2880·8 + 3008·63)/5888 = 36.1 mm

平行移轴定理

基质: 180·16³/12 + 2880·(8 − 36.1)² = 2.335 × 10⁶ mm⁴
两肢: 2·16·94³/12 + 3008·(63 − 36.1)² = 4.392 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.335 × 10⁶ + 4.392 × 10⁶
Ix = 6.727 × 10⁶ mm⁴ = 6.727 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 6.727 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: σ顶部 = 52.43 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 300 + 15/2 = 307.5 mm
腹板: Aw = 10·300 = 3000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·307.5 + 3000·150)/7500 = 244.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·15³/12 + 4500·(307.5 − 244.5)² = 1.794 × 10⁷ mm⁴
腹板: 10·300³/12 + 3000·(150 − 244.5)² = 4.929 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.794 × 10⁷ + 4.929 × 10⁷ = 6.724 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 315 − 244.5 = 70.5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·70.5/6.724 × 10⁷ = 52.43 MPa

答案

σ顶部 = 52.43 MPa

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