静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (4, 1, 6) 与 b = (−3, −2, 6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (4, 1, 6)b = (−3, −2, 6)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−5, 6, 0) 和 b = (0, −3, −2)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (−5, 6, 0)b = (0, −3, −2)

(a × b)_z =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 40 kN 位于 2 mP₂ = 50 kN 位于 7 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 0.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 4.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 5 mP = 50 kN 位于 0.5 m, θ = 30°Q = 35 kN 位于 4.5 m

α = °

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓H: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓H: 25 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 在地面之上 2.5 m，且位于 A 右侧 1.8 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.45 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 15 kNL = 3 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.45 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m，顶部销钉 C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.4 m，作用 12 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 12 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.4 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 3 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 20 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mM₀ = 20 kN·m 顺时针，作用于 3 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP = 15 kN 位于 3 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 150 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 97.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 150 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 64.42 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 4·(−3) + 1·(−2) + 6·6 = 22

模

|a| = √(4² + 1² + 6²) = 7.28

|b| = √((−3)² + (−2)² + 6²) = 7

相角

cos θ = 22/(7.28·7) = 0.4317

θ = arccos(0.4317) = 64.42°

答案

θ = 64.42°

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = 15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·(−2) − 0·(−3) = −12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·0 − (−5)·(−2) = −10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−3) − 6·0 = 15

所求分量

(a × b)_z = 15

答案

(a × b)_z = 15

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_A = 47 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·2 + 50·7

R_B = 430/10 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 43 = 47 kN

答案

R_A = 47 kN

4.梁的支座反力

答案: α = 30.98 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 50·sin 30° = 25 kN

P_h = 50·cos 30° = 43.3 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·0.5 + 35·4.5 → R_B = 34 kN

A_y = 25 + 35 − 34 = 26 kN

A_x = P_h = 43.3 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(26/43.3) = 30.98°

答案

α = 30.98°

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 15 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 25 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 12.5 kN (C), DG: 12.5 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 8.75 kN (C), BC: 7.5 kN (T), CD: 7.5 kN (T), DE: 13.75 kN (T), FG: 16.25 kN (C), GH: 38.75 kN (C), AF: 22.98 kN (C), HE: 19.45 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 6.25 kN (C), BG: 22.98 kN (C), DG: 8.839 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_BC = 2.496 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(1.2² + 2.5²) = 2.773 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2.5/2.773)·3 = 15·0.45

F_BC = 2.496 kN （压缩）

答案

F_BC = 2.496 kN

8.框架与机器

答案: C = 2.379 kN

B 处的支座反力

B_y = 12·0.4/3.2 = 1.5 kN

拉杆力

T = 1.5·1.6/1.3 = 1.846 kN

BC 上的销钉力

C_x = 1.846 kN, C_y = −1.5 kN

C = √(1.846² + 1.5²) = 2.379 kN

答案

C = 2.379 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −6 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 20/10 = 2 kN (向上)

R_A = −R_B = −2 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −2·3 = −6 kN·m

答案

M_x = −6 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 58.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3 + 8·6·3

R_B = 189/6 = 31.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 31.5 = 31.5 kN

V = 0 在哪里？

V(3⁻) = R_A − w·3 = 7.5 kN

V(3⁺) = 7.5 − 15 = −7.5 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 31.5·3 − 8·3²/2 = 58.5 kN·m

答案

M_max = 58.5 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 2827·144)/(48000 − 2827) = 118.5 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·1.502² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·25.5² = 2.475 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 54.35 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (30000·75 − 2500·97.5)/(30000 − 2500) = 72.95 mm

完整的板关于 ȳ

200·150³/12 + 30000·2.045² = 56.38 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·50³/12 + 2500·24.55² = 2.027 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 54.35 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 54.35 × 10⁶ mm⁴

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