静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (1, −6, −1) 与 b = (−1, 2, 6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (1, −6, −1)b = (−1, 2, 6)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(2, 0, 2)、B(2, −4, 4)、C(−4, 2, 4) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(2, 0, 2)B(2, −4, 4)C(−4, 2, 4)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 20 kN/m。距 A 为 1 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mw₀ = 20 kN/mP = 10 kN 位于 1 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w。求墙处反力矩 M_A 的大小。

AC = 3 mAD = 6 mP = 10 kN 位于 4 mw = 8 kN/m，从 3 到 6 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓G: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 30 kN →

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 在地面之上 2.5 m，且位于 A 右侧 0.75 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.375 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 15 kNL = 5 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 0.75 mA 到 K 的水平距离 = 0.375 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1.5 m）。梁在全长上承受 3 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 3 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 3 kN/mP = 3 kNAD = 1.5 mAB = 4 mAC = 1.5 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mw = 12 kN/m，从 3 到 5 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 90 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 118.8 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 1·(−1) + (−6)·2 + (−1)·6 = −19

模

|a| = √(1² + (−6)² + (−1)²) = 6.164

|b| = √((−1)² + 2² + 6²) = 6.403

相角

cos θ = −19/(6.164·6.403) = −0.4814

θ = arccos(−0.4814) = 118.8°

答案

θ = 118.8°

2.向量：点积和叉积

答案: A = 14.7 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (0, −4, 2)

AC = C − A = (−6, 2, 2)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−4)·2 − 2·2 = −12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·(−6) − 0·2 = −12

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·2 − (−4)·(−6) = −24

|AB × AC| = √((−12)² + (−12)² + (−24)²) = 29.39

三角形的面积

A = ½·29.39 = 14.7 m²

答案

A = 14.7 m²

3.梁的支座反力

答案: R_B = 35.33 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·20·5 = 50 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3.333 + 10·1

R_B = 35.33 kN

R_A = 60 − 35.33 = 24.67 kN

答案

R_B = 35.33 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 56 kN·m

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

W = 8·3 = 24 kN 位于 1.5 m ，量自 C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 10·1 + 24·1.5

R_D = 15.33 kN

V_C = 34 − 15.33 = 18.67 kN

AC 段

铰力 V_C 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。

R_A = 18.67 = 18.67 kN

M_A = 18.67·3 = 56 kN·m

答案

M_A = 56 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 56.67 kN (T), DE: 56.67 kN (T), FG: 113.3 kN (C), GH: 113.3 kN (C), AF: 87.5 kN (C), HE: 70.83 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 54.17 kN (T), HC: 70.83 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −9.449 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·1 + 30·4 → C_y = 25.83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 25.83 = 9.167 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9.167/0.9701 = −9.449 kN

答案

F_AB = −9.449 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_BC = 2.219 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(4.25² + 2.5²) = 4.931 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2.5/4.931)·5 = 15·0.375

F_BC = 2.219 kN （压缩）

答案

F_BC = 2.219 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 33.94 kN

均布载荷的合力

w·L = 3·4 = 12 kN 位于 2 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.7071·1.5 = 12·2 + 3·4 = 36 kN·m

F_CD = 33.94 kN

答案

F_CD = 33.94 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 31.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2.5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 25·2.5 − 10·2.5·1.25 = 31.25 kN·m

答案

M_x = 31.25 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 26.67 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2·4

R_B = 96/6 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 16 = 8 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 8/12 = 3.667 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 8·3.667 − 12·0.6667²/2 = 26.67 kN·m

答案

M_max = 26.67 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 25.54 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

腹板: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·210 + 2400·100)/6000 = 166 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·20³/12 + 3600·(210 − 166)² = 7.09 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·200³/12 + 2400·(100 − 166)² = 1.845 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.09 × 10⁶ + 1.845 × 10⁷ = 2.554 × 10⁷ mm⁴ = 25.54 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 25.54 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 10.43 kN·m

形心

ȳ = (6000·252.5 + 3840·120)/9840 = 200.8 mm

上边缘: c = 265 − 200.8 = 64.21 mm

惯性矩

I = 240·25³/12 + 6000·51.71² + 16·240³/12 + 3840·80.79² = 5.985 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 90·5.985 × 10⁷/64.21 = 83.89 kN·m

下边缘: M = 35·5.985 × 10⁷/200.8 = 10.43 kN·m

控制值

M_allow = min = 10.43 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 10.43 kN·m

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