静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (20, −5, 10) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−5, −1, −2) 运动到点 B(3, −1, −3)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (20, −5, 10) NA(−5, −1, −2) mB(3, −1, −3) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (2, 5, −3) 和 b = (0, −4, 1) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (2, 5, −3)b = (0, −4, 1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mP = 40 kN 位于 5 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 m

M_A = kN·m

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 7 m 处承受集中荷载 P，并从 6 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 8 mAC = 10 mP = 20 kN 位于 7 mw = 2 kN/m，从 6 到 10 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 45 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓F: 15 kN ↓F: 15 kN →G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.75 m。B 处悬挂 3 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 3 kNAD = 1.2 mAB = 2 mAC = 0.75 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 12 kNW_b = 0.5 kNAB = 2.5 mAC = 2 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 0 m45 kN @ 6 m50 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 200 mm 的板有一个宽 30 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mm切口: 30 × 40 mm孔心: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 150 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (3, −1, −3) − (−5, −1, −2) = (8, 0, −1) m

功

W = F·d = 20·8 + (−5)·0 + 10·(−1) = 150 J

答案

W = 150 J

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.6472

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·1 − (−3)·(−4) = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·0 − 2·1 = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−4) − 5·0 = −8

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−7)² + (−2)² + (−8)²) = 10.82

n̂ = −(−7, −2, −8)/10.82 = (0.6472, 0.1849, 0.7396)

n̂_x = 0.6472

答案

n̂_x = 0.6472

3.梁的支座反力

答案: M_A = 450 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 40·5 + 50·5 = 450 kN·m

答案

M_A = 450 kN·m

4.梁的支座反力

答案: R_A = 2.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 2·4 = 8 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·7 + 8·8

R_B = 204/8 = 25.5 kN

R_A = 28 − 25.5 = 2.5 kN

答案

R_A = 2.5 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −35.58 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33.75 = 11.25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/6.325 = 0.3162

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11.25/0.3162 = −35.58 kN

答案

F_AB = −35.58 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 50 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 49.5 kN (C), HE: 70.71 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 14.14 kN (T), HC: 14.14 kN (T)

答案

零杆: DH

7.框架与机器

答案: A = 8.246 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 3·2/(0.53·1.2) = 9.434 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 8 kN （指向墙）

A_y = 3 − F_CD·sin α = −2 kN

模

A = √(8² + −2²) = 8.246 kN

答案

A = 8.246 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: T = 19.61 kN

缆绳角

BC = √(2.5² + 2²) = 3.202 m, sin β = 0.6247

对 A 取矩

T·0.6247·2.5 = 12·2.5 + 0.5·1.25

T = 19.61 kN

答案

T = 19.61 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 9.375 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 20·0.5 − 5·0.5·0.25 = 9.375 kN·m

答案

M_x = 9.375 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 1 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 92.5 kN, R₂ = 77.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −20, M_D = 10, M_E = −15, M_F = −45, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −55 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 14.71 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

腹板: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·185 + 2160·90)/3960 = 133.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·10³/12 + 1800·(185 − 133.2)² = 4.848 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·180³/12 + 2160·(90 − 133.2)² = 9.86 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4.848 × 10⁶ + 9.86 × 10⁶ = 1.471 × 10⁷ mm⁴ = 14.71 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 14.71 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 132.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 1200·80)/(40000 − 1200) = 100.6 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·−0.6186² = 133.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·40³/12 + 1200·−20.62² = 0.6701 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 132.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 132.7 × 10⁶ mm⁴

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