静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−1, 5, −5) 在 b = (6, 4, 3) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−1, 5, −5)b = (6, 4, 3)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−2, 5, 5) 和 b = (5, 0, −3) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−2, 5, 5)b = (5, 0, −3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 30 kN 位于 2.5 mP₂ = 60 kN 位于 4 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 6 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 3 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 8 mP = 25 kN 位于 6 m, θ = 30°Q = 40 kN 位于 3 m

α = °

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓C: 15 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓H: 30 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 15° 角。B 处施加 200 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 200 Nθ = 15°

Q = N

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 4 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 2.4 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 1.44 m 处承受 8 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 4 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 8 kNQ = 4 kNL = 4 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 2.4 mA 到 K 的水平距离 = 1.44 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2.5 mP = 20 kN 位于 2 mw = 5 kN/m，从 0 到 2.5 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 20 kN 位于 2 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 200 mm，内径 d = 168 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 200 mmd = 168 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 240 mm 的板有一个宽 30 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 168 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mm切口: 30 × 20 mm孔心: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −0.128

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−1)·6 + 5·4 + (−5)·3 = −1

b 的长度

|b| = √(6² + 4² + 3²) = 7.81

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −1/7.81 = −0.128

答案

comp_b a = −0.128

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.546

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−3) − 5·0 = −15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·5 − (−2)·(−3) = 19

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·0 − 5·5 = −25

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−15)² + 19² + (−25)²) = 34.8

n̂ = −(−15, 19, −25)/34.8 = (0.431, −0.546, 0.7184)

n̂_y = −0.546

答案

n̂_y = −0.546

3.梁的支座反力

答案: R_B = 63 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2.5 + 60·4

R_B = 315/5 = 63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 63 = 27 kN

答案

R_B = 63 kN

4.梁的支座反力

答案: α = 52.41 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 25·sin 30° = 12.5 kN

P_h = 25·cos 30° = 21.65 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12.5·6 + 40·3 → R_B = 24.38 kN

A_y = 12.5 + 40 − 24.38 = 28.13 kN

A_x = P_h = 21.65 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(28.13/21.65) = 52.41°

答案

α = 52.41°

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40.31 kN (T), BC: 40.31 kN (T), CD: 38.44 kN (T), DE: 38.44 kN (T), FG: 54.38 kN (C), GH: 54.38 kN (C), AF: 67.19 kN (C), HE: 64.06 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 23.44 kN (T), HC: 26.56 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 31.25 kN (T), BC: 52.5 kN (T), CD: 52.5 kN (T), DE: 33.75 kN (T), FG: 61.25 kN (C), GH: 63.75 kN (C), AF: 86.62 kN (C), HE: 47.73 kN (C), BF: 21.25 kN (T), CG: 0, DH: 18.75 kN (T), BG: 30.05 kN (C), DG: 26.52 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: Q = 373.2 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 15° = 200

F_link = 386.4 N

夹紧力

Q = F_link·cos 15° = 200/(2·tan 15°) = 373.2 N

答案

Q = 373.2 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 1.866 会无限增大。

8.框架与机器

答案: A_x = 1.248 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

BC 的方向

BC = 4.308 m, cos = 0.3714, sin = 0.9285

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.9285·4 = 8·1.44 + 4·4

F_BC = 7.41 kN

水平平衡

A_x + 4 − 7.41·0.3714 = 0

A_x = −1.248 kN → |A_x| = 1.248 kN

答案

A_x = 1.248 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −55.63 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −20·2 = −40 kN·m

w: −5·2.5²/2 = −15.63 kN·m

M_A = −40 − 15.63 = −55.63 kN·m

答案

M_A = −55.63 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 32 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2 + 6·4·2

R_B = 88/4 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 22 = 22 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 22·2 − 6·2·1 = 32 kN·m

答案

M_x = 32 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 65.3 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 9249 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.944 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(3.944 × 10⁷/9249) = 65.3 mm

答案

r = 65.3 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 229 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 600·168)/(48000 − 600) = 119.4 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·0.6076² = 230.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·20³/12 + 600·48.61² = 1.438 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 229 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 229 × 10⁶ mm⁴

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