静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−1, 1, 4) 与 b = (3, k, −4) 垂直的 k 的值。

a = (−1, 1, 4)b = (3, k, −4)

k =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−5, 5, 2)、b = (−3, 3, 5) 和 c = (−5, 0, −4)。

a = (−5, 5, 2)b = (−3, 3, 5)c = (−5, 0, −4)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 30 kN 位于 1 mP₂ = 60 kN 位于 3 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP = 35 kN 位于 2.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 2 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓C: 30 kN ↓D: 10 kN ↓F: 10 kN →H: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 8° 角。B 处施加 300 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 300 Nθ = 8°

Q = N

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 8 m，B 高 2 m，位于 A 右侧 2.4 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 1.2 m 处承受 8 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 2 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 8 kNQ = 2 kNL = 8 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 2.4 mA 到 K 的水平距离 = 1.2 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP = 60 kN 位于 4 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 210 mm、厚 20 mm，总高度 420 mm，腹板厚 14 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 210 mmH = 420 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = 19

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−1)·3 + 1·k + 4·(−4) = 0

−19 + 1·k = 0

解出 k

k = −(−19)/1 = 19

答案

k = 19

2.向量：点积和叉积

答案: V = 95

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·(−4) − 5·0 = −12

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·(−5) − (−3)·(−4) = −37

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·0 − 3·(−5) = 15

与 a 的点积

a·(b × c) = (−5)·(−12) + 5·(−37) + 2·15 = −95

V = |−95| = 95

答案

V = 95

3.梁的支座反力

答案: R_A = 69 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·1 + 60·3

R_B = 210/10 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 21 = 69 kN

答案

R_A = 69 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 25.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2.5 + 5·2·1

R_B = 97.5/5 = 19.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 19.5 = 25.5 kN

答案

R_A = 25.5 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 16.67 kN (T), BC: 16.67 kN (T), CD: 23.33 kN (T), DE: 23.33 kN (T), FG: 20 kN (C), GH: 20 kN (C), AF: 20.83 kN (C), HE: 29.17 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 4.167 kN (T), HC: 4.167 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 60 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 70.71 kN (C), HE: 84.85 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 21.21 kN (T), HC: 21.21 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: Q = 1067 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 8° = 300

F_link = 1078 N

夹紧力

Q = F_link·cos 8° = 300/(2·tan 8°) = 1067 N

答案

Q = 1067 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 3.558 会无限增大。

8.框架与机器

答案: A_x = 2.76 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

BC 的方向

BC = 5.946 m, cos = 0.9417, sin = 0.3363

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.3363·8 = 8·1.2 + 2·2

F_BC = 5.054 kN

水平平衡

A_x + 2 − 5.054·0.9417 = 0

A_x = 2.76 kN → |A_x| = 2.76 kN

答案

A_x = 2.76 kN

A_x 指向右。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 6 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 6·2 − 3·2·1 = 6 kN·m

答案

M_x = 6 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 73.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·4 + 12·5·2.5

R_B = 390/5 = 78 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 78 = 42 kN

V = 0 在哪里？

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 42/12 = 3.5 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 42·3.5 − 12·3.5²/2 = 73.5 kN·m

答案

M_max = 73.5 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3.5 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 400.3 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 420 − 2·20 = 380 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·420³ − 196·380³)/12

I_x = 4.003 × 10⁸ mm⁴ = 400.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 400.3 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 67.4 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147.5 mm

腹板: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·147.5 + 2800·70)/5800 = 110.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·15³/12 + 3000·(147.5 − 110.1)² = 4.256 × 10⁶ mm⁴

腹板: 20·140³/12 + 2800·(70 − 110.1)² = 9.073 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4.256 × 10⁶ + 9.073 × 10⁶ = 1.333 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 155 − 110.1 = 44.91 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·44.91/1.333 × 10⁷ = 67.4 MPa

答案

σ_顶部 = 67.4 MPa

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