静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (2, −4, 2) 在 b = (0, −4, 5) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (2, −4, 2)b = (0, −4, 5)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(−3, −3, −3)、B(3, −4, −1)、C(−2, −3, 4) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−3, −3, −3)B(3, −4, −1)C(−2, −3, 4)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 20 kN 位于 2 mP₂ = 45 kN 位于 7 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 30 kN 位于 2 mw = 3 kN/m，从 2 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 45 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓F: 35 kN ↓F: 30 kN →H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1 m。B 处悬挂 8 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 8 kNAD = 0.8 mAB = 2.5 mAC = 1 m

A = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 8 m，B 高 3 m，位于 A 右侧 1.2 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.48 m 处承受 20 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 8 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 20 kNQ = 8 kNL = 8 mH = 3 mA 到 B 的水平距离 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.48 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

30 kN @ 0 m15 kN @ 12 m30 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 90 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 40 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 4.061

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 2·0 + (−4)·(−4) + 2·5 = 26

b 的长度

|b| = √(0² + (−4)² + 5²) = 6.403

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 26/6.403 = 4.061

答案

comp_b a = 4.061

2.向量：点积和叉积

答案: A = 20.31 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (6, −1, 2)

AC = C − A = (1, 0, 7)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−1)·7 − 2·0 = −7

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·1 − 6·7 = −40

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 6·0 − (−1)·1 = 1

|AB × AC| = √((−7)² + (−40)² + 1²) = 40.62

三角形的面积

A = ½·40.62 = 20.31 m²

答案

A = 20.31 m²

3.梁的支座反力

答案: R_A = 20.63 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2 + 45·7

R_B = 355/8 = 44.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 44.38 = 20.63 kN

答案

R_A = 20.63 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 16.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 3·1·2.5

R_B = 67.5/4 = 16.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 16.88 = 16.13 kN

答案

R_A = 16.13 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −44.02 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·1 → C_y = 5.625 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 5.625 = 39.38 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −39.38/0.8944 = −44.02 kN

答案

F_AB = −44.02 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 52.5 kN (T), BC: 41.25 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 52.5 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 37.5 kN (C), HE: 50 kN (C), BF: 5 kN (C), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 18.75 kN (T), DG: 18.75 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: A = 26.25 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 8·2.5/(0.7809·0.8) = 32.02 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 20 kN （指向墙）

A_y = 8 − F_CD·sin α = −17 kN

模

A = √(20² + −17²) = 26.25 kN

答案

A = 26.25 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: A_x = 1.52 kN

BC 的方向

BC = 7.432 m, cos = 0.9149, sin = 0.4036

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.4036·8 = 20·0.48 + 8·3

F_BC = 10.41 kN

水平平衡

A_x + 8 − 10.41·0.9149 = 0

A_x = 1.52 kN → |A_x| = 1.52 kN

答案

A_x = 1.52 kN

A_x 指向右。

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 3 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2.5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 5 − 2·1 = 3 kN

答案

V_x = 3 kN

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 48.75 kN, R₂ = 26.25 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −60 kN·m, M_C = −22.5, M_D = 15, M_E = −7.5, M_F = −30, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −60 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 32.95 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (18000·75 − 1963·90)/(18000 − 1963) = 73.16 mm

完整的板关于 ȳ

120·150³/12 + 18000·1.837² = 33.81 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·16.84² = 0.8634 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 32.95 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 32.95 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 199.8 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

腹板: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·130 + 1200·60)/4400 = 110.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·20³/12 + 3200·(130 − 110.9)² = 1.273 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·120³/12 + 1200·(60 − 110.9)² = 4.55 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.273 × 10⁶ + 4.55 × 10⁶ = 5.823 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 140 − 110.9 = 29.09 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·29.09/5.823 × 10⁶ = 199.8 MPa

答案

σ_顶部 = 199.8 MPa

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