静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−3, −6, −3) 与 b = (0, 3, −3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−3, −6, −3)b = (0, 3, −3)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (5, 2, 3)、b = (−3, −4, −2) 和 c = (1, −3, 3)。

a = (5, 2, 3)b = (−3, −4, −2)c = (1, −3, 3)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 30 kN 位于 2.5 mP₂ = 35 kN 位于 3 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 6 kN/m；另在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 6 kN/mP = 15 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓C: 25 kN ↓D: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 15 kN →

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 15° 角。B 处施加 400 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 400 Nθ = 15°

Q = N

8.框架与机器困难

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 15 kNW_b = 2 kNAB = 4 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 8 m15 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 15 kN 位于 1.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmM = 5 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 106.8 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−3)·0 + (−6)·3 + (−3)·(−3) = −9

模

|a| = √((−3)² + (−6)² + (−3)²) = 7.348

|b| = √(0² + 3² + (−3)²) = 4.243

相角

cos θ = −9/(7.348·4.243) = −0.2887

θ = arccos(−0.2887) = 106.8°

答案

θ = 106.8°

2.向量：点积和叉积

答案: V = 37

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·3 − (−2)·(−3) = −18

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·1 − (−3)·3 = 7

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·(−3) − (−4)·1 = 13

与 a 的点积

a·(b × c) = 5·(−18) + 2·7 + 3·13 = −37

V = |−37| = 37

答案

V = 37

3.梁的支座反力

答案: R_A = 20 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2.5 + 35·3

R_B = 180/4 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 45 = 20 kN

答案

R_A = 20 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 77 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 12·2.667 + 15·3 = 77 kN·m

答案

M_A = 77 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 66.67 kN (C), GH: 66.67 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 75 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 33.33 kN (T), HC: 8.333 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 33 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·2 + 15·3 → C_y = 33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 33 = 27 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33/0.7071 = −46.67 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−46.67)·0.7071 = 33 kN

答案

F_AC = 33 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: Q = 746.4 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 15° = 400

F_link = 772.7 N

夹紧力

Q = F_link·cos 15° = 400/(2·tan 15°) = 746.4 N

答案

Q = 746.4 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 1.866 会无限增大。

8.框架与机器

答案: A = 32.02 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (15 + 2/2)/0.4472 = 35.78 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 32 kN

A_y = 15 + 2 − T·sin β = 1 kN

模

A = √(32² + 1²) = 32.02 kN

答案

A = 32.02 kN

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 57.5 kN, R₂ = 92.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 115, M_C = 230, M_D = 315, M_E = 340 kN·m, M_F = 185, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 340 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 15.19 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1.5 + 12·4·2

R_B = 118.5/4 = 29.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 29.63 = 33.38 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 33.38·0.5 − 12·0.5·0.25 = 15.19 kN·m

答案

M_x = 15.19 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 65.32 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267.5 mm

腹板: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·267.5 + 5200·130)/8200 = 180.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·15³/12 + 3000·(267.5 − 180.3)² = 2.287 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·260³/12 + 5200·(130 − 180.3)² = 4.245 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.287 × 10⁷ + 4.245 × 10⁷ = 6.532 × 10⁷ mm⁴ = 65.32 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 65.32 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 16.93 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

腹板: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·225 + 2200·110)/3800 = 158.4 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·10³/12 + 1600·(225 − 158.4)² = 7.106 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·220³/12 + 2200·(110 − 158.4)² = 1.403 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.106 × 10⁶ + 1.403 × 10⁷ = 2.114 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 230 − 158.4 = 71.58 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·71.58/2.114 × 10⁷ = 16.93 MPa

答案

σ_顶部 = 16.93 MPa

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