静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−2, −6, −5) 与 b = (4, −6, −4) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−2, −6, −5)b = (4, −6, −4)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (3, −6, 5) 和 b = (6, 3, 6) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (3, −6, 5)b = (6, 3, 6)

A =

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 10 kN/m 减小到 B 处的零。距 A 为 5 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mw₀ = 10 kN/mP = 15 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mP = 10 kN 位于 2.5 mw = 4 kN/m，从 1 到 3 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓C: 15 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 15 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m，顶部销钉 C 高 3 m，水平拉杆 DE 距地面 1.5 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.4 m，作用 4 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 4 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 3 mDE 的高度 = 1.5 mA 到 K 的水平距离 = 0.4 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 4 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 5 kNW_b = 3 kNAB = 3 mAC = 4 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 10 kN 位于 1 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 43.78 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·4 + (−6)·(−6) + (−5)·(−4) = 48

模

|a| = √((−2)² + (−6)² + (−5)²) = 8.062

|b| = √(4² + (−6)² + (−4)²) = 8.246

相角

cos θ = 48/(8.062·8.246) = 0.722

θ = arccos(0.722) = 43.78°

答案

θ = 43.78°

2.向量：点积和叉积

答案: A = 69.07

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·6 − 5·3 = −51

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·6 − 3·6 = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·3 − (−6)·6 = 45

面积

A = |a × b| = √((−51)² + 12² + 45²) = 69.07

答案

A = 69.07

3.梁的支座反力

答案: R_A = 32.29 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·2.667 + 15·5

R_B = 22.71 kN

R_A = 55 − 22.71 = 32.29 kN

答案

R_A = 32.29 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 10.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2.5 + 4·2·2

R_B = 41/4 = 10.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 10.25 = 7.75 kN

答案

R_B = 10.25 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 63.75 kN (T), BC: 63.75 kN (T), CD: 61.25 kN (T), DE: 61.25 kN (T), FG: 82.5 kN (C), GH: 82.5 kN (C), AF: 90.16 kN (C), HE: 86.62 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 26.52 kN (T), HC: 30.05 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −50.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 + 15·4 → C_y = 48.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 48.75 = −3.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48.75/0.9701 = −50.25 kN

答案

F_BC = −50.25 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 0.5333 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 4·0.4/3.2 = 0.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

0.5·1.6 = T·1.5

T = 0.5333 kN

答案

T = 0.5333 kN

8.框架与机器

答案: T = 8.125 kN

缆绳角

BC = √(3² + 4²) = 5 m, sin β = 0.8

对 A 取矩

T·0.8·3 = 5·3 + 3·1.5

T = 8.125 kN

答案

T = 8.125 kN

9.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 55 kN, R₂ = 55 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 47.5, M_C = 80, M_D = 97.5 kN·m, M_E = 80, M_F = 47.5, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 97.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 20.83 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1 + 5·6·3

R_B = 100/6 = 16.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 16.67 = 23.33 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 23.33·1 − 5·1·0.5 = 20.83 kN·m

答案

M_x = 20.83 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 445.6 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (60000·150 − 1963·105)/(60000 − 1963) = 151.5 mm

完整的板关于 ȳ

200·300³/12 + 60000·−1.522² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−46.52² = 4.556 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 445.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 445.6 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 76.65 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

腹板: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·207.5 + 2400·100)/5100 = 156.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·15³/12 + 2700·(207.5 − 156.9)² = 6.96 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·200³/12 + 2400·(100 − 156.9)² = 1.577 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.96 × 10⁶ + 1.577 × 10⁷ = 2.273 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 215 − 156.9 = 58.09 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·58.09/2.273 × 10⁷ = 76.65 MPa

答案

σ_顶部 = 76.65 MPa

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