静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−2, −6, 1) 在 b = (2, −3, 4) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−2, −6, 1)b = (2, −3, 4)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(−1, −1, −4)、B(1, 0, 1)、C(−2, 3, −3) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−1, −1, −4)B(1, 0, 1)C(−2, 3, −3)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 35 kN 位于 1 mP₂ = 35 kN 位于 8 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 10 kN 位于 2 mw = 2 kN/m，从 2 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 15 kN ↓H: 30 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。C 处作用 5 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 5 kNAB = 2 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 1 m

C = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4 m，并由高度为 2 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 10 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 10 kNAB = 6 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 2 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 5 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 0 m20 kN @ 12 m10 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 300 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 190 mm。底板和两肢厚度均为 8 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 300 mmh = 190 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 100 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 3.343

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·2 + (−6)·(−3) + 1·4 = 18

b 的长度

|b| = √(2² + (−3)² + 4²) = 5.385

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 18/5.385 = 3.343

答案

comp_b a = 3.343

2.向量：点积和叉积

答案: A = 11.08 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (2, 1, 5)

AC = C − A = (−1, 4, 1)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 1·1 − 5·4 = −19

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 5·(−1) − 2·1 = −7

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·4 − 1·(−1) = 9

|AB × AC| = √((−19)² + (−7)² + 9²) = 22.16

三角形的面积

A = ½·22.16 = 11.08 m²

答案

A = 11.08 m²

3.梁的支座反力

答案: R_B = 31.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·1 + 35·8

R_B = 315/10 = 31.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 31.5 = 38.5 kN

答案

R_B = 31.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 5.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 2·1·2.5

R_B = 25/4 = 6.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6.25 = 5.75 kN

答案

R_A = 5.75 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 37.5 kN (T), BC: 37.5 kN (T), CD: 42.5 kN (T), DE: 42.5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 53.03 kN (C), HE: 60.1 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 10.61 kN (T), HC: 3.536 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 30 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 70.71 kN (C), HE: 49.5 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 14.14 kN (C), DG: 7.071 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: C = 3.005 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 2.5 kN

T = 2.5·1/1.5 = 1.667 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 1.667 kN, C_y = −B_y = −2.5 kN

模

C = √(1.667² + 2.5²) = 3.005 kN

答案

C = 3.005 kN

8.框架与机器

答案: T = 10 kN

整个框架：对 A 取矩

B_y·6 = 10·4

B_y = 6.667 kN

腿 BC：对 C 取矩

6.667·3 = T·2

T = 10 kN

答案

T = 10 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 12.5 kN, R₂ = 32.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 12.5, M_C = 25, M_D = 37.5, M_E = 50 kN·m, M_F = 32.5, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 50 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 83.33 kN, R₂ = 46.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −100 kN·m, M_C = −53.33, M_D = −46.67, M_E = −80, M_F = −40, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −100 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 56.08 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 300·8 = 2400 mm², y₁ = 4 mm

两肢: A₂ = 2·8·182 = 2912 mm², y₂ = 8 + 182/2 = 99 mm

形心

ȳ = (2400·4 + 2912·99)/5312 = 56.08 mm

答案

ȳ = 56.08 mm

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 6.907 kN·m

形心

ȳ = (2500·152.5 + 2520·70)/5020 = 111.1 mm

上边缘: c = 165 − 111.1 = 53.91 mm

惯性矩

I = 100·25³/12 + 2500·41.41² + 18·140³/12 + 2520·41.09² = 1.279 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 100·1.279 × 10⁷/53.91 = 23.72 kN·m

下边缘: M = 60·1.279 × 10⁷/111.1 = 6.907 kN·m

控制值

M_allow = min = 6.907 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 6.907 kN·m

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