静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzdFAB

一个恒力 F = (20, −10, −20) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(1, 0, 4) 运动到点 B(5, 1, −3)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (20, −10, −20) NA(1, 0, 4) mB(5, 1, −3) m
W = J
2.向量：点积和叉积困难
xyzab

对于 a = (−4, 4, 6) 和 b = (6, −5, −4)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)z。

a = (−4, 4, 6)b = (6, −5, −4)
(a × b)z =
3.梁的支座反力中等
P = 70 kNM = 20 kN·mABRA​ = ?1 m4 m3 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 1 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RA，以向上为正。

L = 8 mP = 70 kN 位于 5 mM = 20 kN·m (逆时针) 位于 1 m
RA = kN
4.梁的支座反力困难
w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?RB​2 m2 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 30 kN 位于 2 mw = 5 kN/m，从 0 到 4 m
RA = kN
5.桁架：节点法中等
ABBCACACB60 kN5 m1 m3 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 60 kN
FBC = kN
6.桁架：节点法困难
ABBCACACB40 kN15 kN5 m4 m3 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 15 kN →
FAC = kN
7.框架与机器中等
4 kN5 m2.5 m3 mABCK

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 在地面之上 2.5 m，且位于 A 右侧 3 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.2 m，作用 4 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 FBC。

P = 4 kNL = 5 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 3 mA 到 K 的水平距离 = 1.2 m
FBC = kN
8.框架与机器困难
10 kN3 m0.8 m2.8 mABCDE

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 3.6 m，并由高度为 0.8 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 10 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 10 kNAB = 3 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 0.8 m
T = kN
9.剪力和弯矩中等
P1​ = 35 kNP2​ = 25 kNABC3 m3 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP1 = 35 kN 位于 3 mP2 = 25 kN 位于 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mx = kN·m
10.剪力和弯矩困难
w = 5 kN/mP = 50 kNAB截面1.5 m1 m1.5 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 50 kN 位于 2.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
11.形心和惯性矩中等
1402026014x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
2202510010xM = 10 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。

bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 100 mmM = 10 kN·m
σ底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 210 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (5, 1, −3) − (1, 0, 4) = (4, 1, −7) m

功

W = F·d = 20·4 + (−10)·1 + (−20)·(−7) = 210 J

答案

W = 210 J
2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)z = −4

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)x = aybz − azby = 4·(−4) − 6·(−5) = 14
(a × b)y = azbx − axbz = 6·6 − (−4)·(−4) = 20
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−5) − 4·6 = −4

所求分量

(a × b)z = −4

答案

(a × b)z = −4

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: RA = 28.75 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·8 − 70·5 + 20 = 0
RB = 330/8 = 41.25 kN

竖向平衡

RA = 70 − 41.25 = 28.75 kN

答案

RA = 28.75 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: RA = 25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​RB​2 m2 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·2 + 5·4·2
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN

答案

RA = 25 kN
5.桁架：节点法

答案: FBC = −20 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 12 = 48 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12/0.6 = −20 kN

答案

FBC = −20 kN (受压)
6.桁架：节点法

答案: FAC = 13.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 40·4 + 15·3 → Cy = 41 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 41 = −1 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −41/0.9487 = −43.22 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−43.22)·0.3162 = 13.67 kN

答案

FAC = 13.67 kN (受拉)
7.框架与机器

答案: FBC = 1.229 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(2² + 2.5²) = 3.202 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

FBC·(2.5/3.202)·5 = 4·1.2
FBC = 1.229 kN （压缩）

答案

FBC = 1.229 kN
8.框架与机器

答案: T = 6.429 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

By·3 = 10·3.6
By = 12 kN

腿 BC：对 C 取矩

12·1.5 = T·2.8
T = 6.429 kN

答案

T = 6.429 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: Mx = 27.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·6 = 35·3 + 25·8
RB = 305/6 = 50.83 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 50.83 = 9.167 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·3 = 9.167·3 = 27.5 kN·m

答案

Mx = 27.5 kN·m
10.剪力和弯矩

答案: Mx = 37.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2.5 + 5·4·2
RB = 165/4 = 41.25 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 41.25 = 28.75 kN
w = 5 kN/mP = 50 kNABRA​ = 28.75RB​ = 41.25截面1.5 m1 m1.5 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 28.75·1.5 − 5·1.5·0.75 = 37.5 kN·m

答案

Mx = 37.5 kN·m
11.形心和惯性矩

答案: Ix = 51.62 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
腹板: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·270 + 3640·130)/6440 = 190.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·20³/12 + 2800·(270 − 190.9)² = 1.763 × 10⁷ mm⁴
腹板: 14·260³/12 + 3640·(130 − 190.9)² = 3.399 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.763 × 10⁷ + 3.399 × 10⁷ = 5.162 × 10⁷ mm⁴ = 51.62 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 51.62 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: σ底部 = 232.5 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 100 + 25/2 = 112.5 mm
腹板: Aw = 10·100 = 1000 mm², yw = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5500·112.5 + 1000·50)/6500 = 102.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·25³/12 + 5500·(112.5 − 102.9)² = 794964 mm⁴
腹板: 10·100³/12 + 1000·(50 − 102.9)² = 3.63 × 10⁶ mm⁴
Ix = 794964 + 3.63 × 10⁶ = 4.425 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 102.9 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·102.9/4.425 × 10⁶ = 232.5 MPa

答案

σ底部 = 232.5 MPa

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