静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−6, 6, 1) 与 b = (−4, k, 4) 垂直的 k 的值。

a = (−6, 6, 1)b = (−4, k, 4)

k =

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(0, 1, 3)、B(−3, 4, −1)、C(4, −4, −3) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(0, 1, 3)B(−3, 4, −1)C(4, −4, −3)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP₁ = 35 kN 位于 1 mP₂ = 30 kN 位于 2 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 3.5 m 到位于 6 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 4.5 mAC = 6 mP = 10 kN 位于 2 mw = 12 kN/m，从 3.5 到 6 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 10 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 30 kN →

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4.8 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。C 处作用 2 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 2 kNAB = 4.8 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1 m

C = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.2 m，作用 6 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 6 kNAB = 6 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 1.2 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 3 m25 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP = 45 kN 位于 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 8 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 190 mm、厚 20 mm，总高度 420 mm，腹板厚 14 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 190 mmH = 420 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 60 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mm切口: 60 × 20 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −4.667

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−6)·(−4) + 6·k + 1·4 = 0

28 + 6·k = 0

解出 k

k = −28/6 = −4.667

答案

k = −4.667

2.向量：点积和叉积

答案: A = 25.54 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (−3, 3, −4)

AC = C − A = (4, −5, −6)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 3·(−6) − (−4)·(−5) = −38

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−4)·4 − (−3)·(−6) = −34

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−5) − 3·4 = 3

|AB × AC| = √((−38)² + (−34)² + 3²) = 51.08

三角形的面积

A = ½·51.08 = 25.54 m²

答案

A = 25.54 m²

3.梁的支座反力

答案: R_A = 46 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1 + 30·2

R_B = 95/5 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 19 = 46 kN

答案

R_A = 46 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 3.889 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 12·2.5 = 30 kN, x̄ = (3.5 + 6)/2 = 4.75 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 10·2 + 30·4.75

R_B = 162.5/4.5 = 36.11 kN

R_A = 40 − 36.11 = 3.889 kN

答案

R_A = 3.889 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −8.784 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·5 → C_y = 8.333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 8.333 = 1.667 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8.333/0.9487 = −8.784 kN

答案

F_BC = −8.784 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 39 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 + 30·2 → C_y = 26 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26 = 9 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26/0.5547 = −46.87 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−46.87)·0.8321 = 39 kN

答案

F_AC = 39 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: C = 1.213 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 1 kN

T = 1·2.4/3.5 = 0.6857 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 0.6857 kN, C_y = −B_y = −1 kN

模

C = √(0.6857² + 1²) = 1.213 kN

答案

C = 1.213 kN

8.框架与机器

答案: C = 1.622 kN

B 处的支座反力

B_y = 6·1.2/6 = 1.2 kN

拉杆力

T = 1.2·3/3.3 = 1.091 kN

BC 上的销钉力

C_x = 1.091 kN, C_y = −1.2 kN

C = √(1.091² + 1.2²) = 1.622 kN

答案

C = 1.622 kN

9.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 38.33 kN, R₂ = 21.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 38.33, M_C = 51.67, M_D = 65 kN·m, M_E = 43.33, M_F = 21.67, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 65 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 144.4 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·5 + 8·8·4

R_B = 481/8 = 60.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 109 − 60.13 = 48.88 kN

V = 0 在哪里？

V(5⁻) = R_A − w·5 = 8.875 kN

V(5⁺) = 8.875 − 45 = −36.13 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 48.88·5 − 8·5²/2 = 144.4 kN·m

答案

M_max = 144.4 kN·m

它出现在距 A 为 x = 5 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 368.3 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 420 − 2·20 = 380 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·420³ − 176·380³)/12

I_x = 3.683 × 10⁸ mm⁴ = 368.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 368.3 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (45000·150 − 1200·210)/(45000 − 1200) = 148.4 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·1.644² = 337.6 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·20³/12 + 1200·61.64² = 4.6 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

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