静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−3, 5, −1) 与 b = (3, k, 6) 垂直的 k 的值。

a = (−3, 5, −1)b = (3, k, 6)

k =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−60, 60, 0) N 作用在点 A(2, −4, −1)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (−60, 60, 0) NA(2, −4, −1) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 80 kN 位于 3.5 mP₂ = 70 kN 位于 6 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 20 kN 位于 1 mw = 5 kN/m，从 0 到 1 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 30 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓C: 15 kN ↓F: 40 kN ↓F: 35 kN →G: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1.2 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 15 kNAD = 1.2 mAB = 2.4 mAC = 1.2 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 4 m。B 处悬挂 2 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 2 kNW_b = 0.5 kNAB = 2 mAC = 4 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 5 mw = 24 kN/m，从 2 到 5 m

x₀ = m

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = 3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−3)·3 + 5·k + (−1)·6 = 0

−15 + 5·k = 0

解出 k

k = −(−15)/5 = 3

答案

k = 3

2.向量：点积和叉积

答案: M_y = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (2, −4, −1) − (0, 0, 0) = (2, −4, −1) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·0 − (−1)·60 = 60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·(−60) − 2·0 = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·60 − (−4)·(−60) = −120 N·m

所求分量

M_y = 60 N·m

答案

M_y = 60 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 175 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·3.5 + 70·6

R_B = 700/4 = 175 kN

竖向平衡

R_A = 80 + 70 − 175 = −25 kN

答案

R_B = 175 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: R_A = 21.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN，作用于 x̄ = 0.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1 + 5·1·0.5

R_B = 22.5/6 = 3.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 3.75 = 21.25 kN

答案

R_A = 21.25 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −21.87 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·5 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 18.75 = 11.25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/5.831 = 0.5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11.25/0.5145 = −21.87 kN

答案

F_AB = −21.87 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 91.25 kN (T), BC: 91.25 kN (T), CD: 38.75 kN (T), DE: 38.75 kN (T), FG: 77.5 kN (C), GH: 77.5 kN (C), AF: 79.55 kN (C), HE: 54.8 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 19.45 kN (C), HC: 54.8 kN (T)

答案

零杆: DH

7.框架与机器

答案: A = 33.54 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 15·2.4/(0.7071·1.2) = 42.43 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 30 kN （指向墙）

A_y = 15 − F_CD·sin α = −15 kN

模

A = √(30² + −15²) = 33.54 kN

答案

A = 33.54 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: T = 2.516 kN

缆绳角

BC = √(2² + 4²) = 4.472 m, sin β = 0.8944

对 A 取矩

T·0.8944·2 = 2·2 + 0.5·1

T = 2.516 kN

答案

T = 2.516 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 60 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 25·4 − 5·4·2 = 60 kN·m

答案

M_x = 60 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x₀ = 2.9 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 24·3·3.5

R_B = 252/5 = 50.4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 50.4 = 21.6 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 21.6/24 = 2.9 m

答案

x₀ = 2.9 m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 2827·96)/(48000 − 2827) = 121.5 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·−1.502² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−25.5² = 2.475 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 97.59 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112.5 mm

腹板: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·112.5 + 1200·50)/6200 = 100.4 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·25³/12 + 5000·(112.5 − 100.4)² = 992076 mm⁴

腹板: 12·100³/12 + 1200·(50 − 100.4)² = 4.049 × 10⁶ mm⁴

I_x = 992076 + 4.049 × 10⁶ = 5.041 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 125 − 100.4 = 24.6 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·24.6/5.041 × 10⁶ = 97.59 MPa

答案

σ_顶部 = 97.59 MPa

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