静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−4, −2, 4) 在 b = (−6, 4, 3) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−4, −2, 4)b = (−6, 4, 3)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (2, 4, −5)、b = (−2, −4, 1) 和 c = (−3, 4, 1)。

a = (2, 4, −5)b = (−2, −4, 1)c = (−3, 4, 1)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 55 kN 位于 2.5 mP₂ = 55 kN 位于 4.5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 40°；距 A 为 1 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 10 mP = 20 kN 位于 5 m, θ = 40°Q = 45 kN 位于 1 m

α = °

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 15 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 25 kN ↓F: 40 kN ↓F: 20 kN →G: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。C 处作用 4 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 4 kNAB = 4 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 0.8 m

C = kN

8.框架与机器困难

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 3 m。B 处悬挂 4 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 4 kNW_b = 1 kNAB = 4 mAC = 3 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP₁ = 45 kN 位于 1 mP₂ = 75 kN 位于 1.5 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 60 kN 位于 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 180 mm，外高 H = 200 mm，壁厚均为 t = 8 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 180 mmH = 200 mmt = 8 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 200 mm 的板有一个宽 30 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mm切口: 30 × 40 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 3.585

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−4)·(−6) + (−2)·4 + 4·3 = 28

b 的长度

|b| = √((−6)² + 4² + 3²) = 7.81

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 28/7.81 = 3.585

答案

comp_b a = 3.585

2.向量：点积和叉积

答案: V = 80

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·1 − 1·4 = −8

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·(−3) − (−2)·1 = −1

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·4 − (−4)·(−3) = −20

与 a 的点积

a·(b × c) = 2·(−8) + 4·(−1) + (−5)·(−20) = 80

V = |80| = 80

答案

V = 80

3.梁的支座反力

答案: R_A = 45.83 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2.5 + 55·4.5

R_B = 385/6 = 64.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 64.17 = 45.83 kN

答案

R_A = 45.83 kN

4.梁的支座反力

答案: α = 71.92 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 20·sin 40° = 12.86 kN

P_h = 20·cos 40° = 15.32 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12.86·5 + 45·1 → R_B = 10.93 kN

A_y = 12.86 + 45 − 10.93 = 46.93 kN

A_x = P_h = 15.32 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(46.93/15.32) = 71.92°

答案

α = 71.92°

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 28.75 kN (T), BC: 37.5 kN (T), CD: 37.5 kN (T), DE: 26.25 kN (T), FG: 28.75 kN (C), GH: 26.25 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 37.12 kN (C), BF: 8.75 kN (T), CG: 0, DH: 26.25 kN (T), BG: 12.37 kN (C), DG: 15.91 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 86.67 kN (T), BC: 86.67 kN (T), CD: 66.67 kN (T), DE: 66.67 kN (T), FG: 100 kN (C), GH: 100 kN (C), AF: 83.33 kN (C), HE: 83.33 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 16.67 kN (T), HC: 41.67 kN (T)

答案

零杆: BF

7.框架与机器

答案: C = 3.088 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 2 kN

T = 2·2/1.7 = 2.353 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 2.353 kN, C_y = −B_y = −2 kN

模

C = √(2.353² + 2²) = 3.088 kN

答案

C = 3.088 kN

8.框架与机器

答案: T = 7.5 kN

缆绳角

BC = √(4² + 3²) = 5 m, sin β = 0.6

对 A 取矩

T·0.6·4 = 4·4 + 1·2

T = 7.5 kN

答案

T = 7.5 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 110.3 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1 + 75·1.5

R_B = 157.5/5 = 31.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 31.5 = 88.5 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1 = 88.5·1 = 88.5 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·3.5 = 31.5·3.5 = 110.3 kN·m

最大值

M_max = 110.3 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 110.3 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 30 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·4 + 2·5·2.5

R_B = 265/5 = 53 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 53 = 17 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 17·2 − 2·2·1 = 30 kN·m

答案

M_x = 30 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 77.37 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 164 mm, h = 184 mm

A = BH − bh = 180·200 − 164·184 = 5824 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3.486 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(3.486 × 10⁷/5824) = 77.37 mm

答案

r = 77.37 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 64.46 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 1200·60)/(20000 − 1200) = 102.6 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·−2.553² = 66.8 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·40³/12 + 1200·−42.55² = 2.333 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 64.46 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 64.46 × 10⁶ mm⁴

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