静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (7, 6, 3) 在 b = (−1, 5, 3) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (7, 6, 3)b = (−1, 5, 3)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−1, −4, −4) 和 b = (6, −4, 4)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)_y。

a = (−1, −4, −4)b = (6, −4, 4)

(a × b)_y =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 60 kN 位于 3 mP₂ = 70 kN 位于 10 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 6 kN/m；另在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 6 kN/mP = 65 kN 位于 2 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓C: 35 kN ↓D: 20 kN ↓F: 20 kN ↓F: 20 kN →

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 100 mm）的 300 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 150 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 300 NOA = 100 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 3 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 15 kNW_b = 1 kNAB = 2 mAC = 3 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 4 m10 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 10 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

x_c = m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 180 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 170 mm。底板和两肢厚度均为 12 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 180 mmh = 170 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 5.409

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 7·(−1) + 6·5 + 3·3 = 32

b 的长度

|b| = √((−1)² + 5² + 3²) = 5.916

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 32/5.916 = 5.409

答案

comp_b a = 5.409

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_y = −20

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·4 − (−4)·(−4) = −32

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·6 − (−1)·4 = −20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−4) − (−4)·6 = 28

所求分量

(a × b)_y = −20

答案

(a × b)_y = −20

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_A = −16.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3 + 70·10

R_B = 880/6 = 146.7 kN

竖向平衡

R_A = 60 + 70 − 146.7 = −16.67 kN

答案

R_A = −16.67 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: M_A = 162 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 12·2.667 + 65·2 = 162 kN·m

答案

M_A = 162 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 38.44 kN (T), BC: 38.44 kN (T), CD: 32.81 kN (T), DE: 32.81 kN (T), FG: 50.63 kN (C), GH: 50.63 kN (C), AF: 64.06 kN (C), HE: 54.69 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 20.31 kN (T), HC: 29.69 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 78.75 kN (T), BC: 78.75 kN (T), CD: 51.25 kN (T), DE: 51.25 kN (T), FG: 82.5 kN (C), GH: 82.5 kN (C), AF: 83.09 kN (C), HE: 72.48 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 5.303 kN (T), HC: 44.19 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_O = 360.6 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 300·100/150 = 200 N

销钉反力

O_x = 200 N, O_y = 300 N

F_O = √(200² + 300²) = 360.6 N

答案

F_O = 360.6 N

8.框架与机器

答案: T = 18.63 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳角

BC = √(2² + 3²) = 3.606 m, sin β = 0.8321

对 A 取矩

T·0.8321·2 = 15·2 + 1·1

T = 18.63 kN

答案

T = 18.63 kN

9.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 18.33 kN, R₂ = 6.667 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 36.67, M_C = 53.33 kN·m, M_D = 40, M_E = 26.67, M_F = 13.33, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 53.33 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x_c = 7.5 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·10·5

R_B = 500/8 = 62.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 62.5 = 37.5 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·37.5/10 = 7.5 m

答案

x_c = 7.5 m

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 60.15 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 180·12 = 2160 mm², y₁ = 6 mm

两肢: A₂ = 2·12·158 = 3792 mm², y₂ = 12 + 158/2 = 91 mm

形心

ȳ = (2160·6 + 3792·91)/5952 = 60.15 mm

答案

ȳ = 60.15 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 160.1 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187.5 mm

腹板: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·187.5 + 3240·90)/4740 = 120.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·15³/12 + 1500·(187.5 − 120.9)² = 6.691 × 10⁶ mm⁴

腹板: 18·180³/12 + 3240·(90 − 120.9)² = 1.183 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.691 × 10⁶ + 1.183 × 10⁷ = 1.852 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 195 − 120.9 = 74.15 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·74.15/1.852 × 10⁷ = 160.1 MPa

答案

σ_顶部 = 160.1 MPa

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