静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (5, −5, 3) 与 b = (−5, −1, k) 垂直的 k 的值。

a = (5, −5, 3)b = (−5, −1, k)

k =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−3, 5, 5)、b = (4, 0, −5) 和 c = (0, 4, 5)。

a = (−3, 5, 5)b = (4, 0, −5)c = (0, 4, 5)

V =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 7 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 75 kN 位于 5 mP₂ = 75 kN 位于 10 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 55 kN 位于 5 mw = 10 kN/m，从 5 到 7 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 55 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓D: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 0.6 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.5 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 15 kNAB = 4 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 0.6 mA 到 K 的水平距离 = 1.5 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2.4 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.9 m，作用 20 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 20 kNAB = 2.4 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 2 mA 到 K 的水平距离 = 0.9 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

30 kN @ 12 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 140 mm、厚 10 mm，总高度 280 mm，腹板厚 8 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 140 mmH = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 15 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = 6.667

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 5·(−5) + (−5)·(−1) + 3·k = 0

−20 + 3·k = 0

解出 k

k = −(−20)/3 = 6.667

答案

k = 6.667

2.向量：点积和叉积

答案: V = 80

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·5 − (−5)·4 = 20

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−5)·0 − 4·5 = −20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 4·4 − 0·0 = 16

与 a 的点积

a·(b × c) = (−3)·20 + 5·(−20) + 5·16 = −80

V = |−80| = 80

答案

V = 80

3.梁的支座反力

答案: R_A = −10.71 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·7 = 75·5 + 75·10

R_B = 1125/7 = 160.7 kN

竖向平衡

R_A = 75 + 75 − 160.7 = −10.71 kN

答案

R_A = −10.71 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: R_B = 49.38 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 10·2·6

R_B = 395/8 = 49.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 49.38 = 25.63 kN

答案

R_B = 49.38 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 25.78 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·5 → C_y = 34.38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 34.38 = 20.63 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −34.38/0.8 = −42.97 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−42.97)·0.6 = 25.78 kN

答案

F_AC = 25.78 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 22.5 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 34.17 kN (T), DE: 34.17 kN (T), FG: 38.33 kN (C), GH: 38.33 kN (C), AF: 40.63 kN (C), HE: 42.71 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 7.292 kN (T), HC: 7.292 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 5.921 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 15·1.5/4 = 5.625 kN

腿 BC：对 C 取矩

5.625·2 = T·1.9

T = 5.921 kN

答案

T = 5.921 kN

8.框架与机器

答案: C = 8.746 kN

B 处的支座反力

B_y = 20·0.9/2.4 = 7.5 kN

拉杆力

T = 7.5·1.2/2 = 4.5 kN

BC 上的销钉力

C_x = 4.5 kN, C_y = −7.5 kN

C = √(4.5² + 7.5²) = 8.746 kN

答案

C = 8.746 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 3.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 8·3.5 − 4·3.5·1.75 = 3.5 kN·m

答案

M_x = 3.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 7.5 kN, R₂ = 67.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 30, M_D = −45, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −120 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 62.77 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 280 − 2·10 = 260 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·280³ − 132·260³)/12

I_x = 6.277 × 10⁷ mm⁴ = 62.77 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 62.77 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 35.38 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

腹板: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·225 + 3520·110)/5720 = 154.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·10³/12 + 2200·(225 − 154.2)² = 1.104 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·220³/12 + 3520·(110 − 154.2)² = 2.108 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.104 × 10⁷ + 2.108 × 10⁷ = 3.212 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 230 − 154.2 = 75.77 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·75.77/3.212 × 10⁷ = 35.38 MPa

答案

σ_顶部 = 35.38 MPa

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