静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−1, 1, 3) 与 b = (7, 1, 0) 的点积 a·b。

a = (−1, 1, 3)b = (7, 1, 0)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (0, 10, −50) N 作用在点 A(3, 3, −3)。坐标单位为米。求该力对点 O(3, −2, 3) 的力矩的大小 |M|。

F = (0, 10, −50) NA(3, 3, −3) mO(3, −2, 3) m

|M| = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 5 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_A，以向上为正。

L = 8 mP = 40 kN 位于 1 mM = 60 kN·m (逆时针) 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 30 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 1 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 20 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓D: 40 kN ↓F: 20 kN →G: 30 kN ↓H: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.75 m，作用 8 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 8 kNAB = 2 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 2 mA 到 K 的水平距离 = 0.75 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1 m。B 处悬挂 4 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 4 kNW_b = 2 kNAB = 6 mAC = 1 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2 mP = 75 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 0 到 2 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 12 m8 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −6

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−1)·7 + 1·1 + 3·0 = (−7) + 1 + 0 = −6

答案

a·b = −6

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: |M| = 190 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (3, 3, −3) − (3, −2, 3) = (0, 5, −6) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 5·(−50) − (−6)·10 = −190 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−6)·0 − 0·(−50) = 0 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·10 − 5·0 = 0 N·m

模

|M| = √((−190)² + 0² + 0²) = 190 N·m

答案

|M| = 190 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 42.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·8 − 40·1 + 60 = 0

R_B = −20/8 = −2.5 kN

竖向平衡

R_A = 40 − (−2.5) = 42.5 kN

答案

R_A = 42.5 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: R_A = 28.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1.5 + 10·2·2

R_B = 85/4 = 21.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 21.25 = 28.75 kN

答案

R_A = 28.75 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −9.1 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·7 → C_y = 17.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 17.5 = 2.5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/7.28 = 0.2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2.5/0.2747 = −9.1 kN

答案

F_AB = −9.1 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 88.33 kN (T), BC: 110 kN (T), CD: 110 kN (T), DE: 91.67 kN (T), FG: 88.33 kN (C), GH: 91.67 kN (C), AF: 85.42 kN (C), HE: 114.6 kN (C), BF: 51.25 kN (T), CG: 0, DH: 53.75 kN (T), BG: 27.08 kN (C), DG: 22.92 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 1.5 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 8·0.75/2 = 3 kN

腿 BC：对 C 取矩

3·1 = T·2

T = 1.5 kN

答案

T = 1.5 kN

8.框架与机器

答案: A = 30.02 kN

缆绳拉力

T = (4 + 2/2)/0.1644 = 30.41 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 30 kN

A_y = 4 + 2 − T·sin β = 1 kN

模

A = √(30² + 1²) = 30.02 kN

答案

A = 30.02 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −170 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −75·2 = −150 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_A = −150 − 20 = −170 kN·m

答案

M_A = −170 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 28 kN, R₂ = 112 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 48, M_D = 24, M_E = −32, M_F = −120 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −120 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 22.27 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

腹板: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·205 + 2400·100)/5200 = 156.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·10³/12 + 2800·(205 − 156.5)² = 6.599 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·200³/12 + 2400·(100 − 156.5)² = 1.567 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.599 × 10⁶ + 1.567 × 10⁷ = 2.227 × 10⁷ mm⁴ = 22.27 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 22.27 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 8.573 kN·m

形心

ȳ = (4200·195 + 3600·90)/7800 = 146.5 mm

上边缘: c = 210 − 146.5 = 63.46 mm

惯性矩

I = 140·30³/12 + 4200·48.46² + 20·180³/12 + 3600·56.54² = 3.141 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 150·3.141 × 10⁷/63.46 = 74.23 kN·m

下边缘: M = 40·3.141 × 10⁷/146.5 = 8.573 kN·m

控制值

M_allow = min = 8.573 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 8.573 kN·m

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