静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−30, −10, 5) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(5, 0, 1) 运动到点 B(−1, 3, 0)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−30, −10, 5) NA(5, 0, 1) mB(−1, 3, 0) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−3, −3, −5)、b = (2, 2, 2) 和 c = (5, 2, −4)。

a = (−3, −3, −5)b = (2, 2, 2)c = (5, 2, −4)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 20 kN 位于 3 mP₂ = 45 kN 位于 8 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 20 kN 位于 7 mw = 10 kN/m，从 1 到 4 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 25 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 4 m，B 在地面之上 4 m，且位于 A 右侧 1.2 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.72 m，作用 5 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 5 kNL = 4 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.72 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1.5 m）。梁在全长上承受 4 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 15 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 4 kN/mP = 15 kNAD = 1.2 mAB = 4 mAC = 1.5 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 5 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mw = 24 kN/m，从 3 到 6 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 168 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 240 mmd = 30 mm孔心: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 5 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 145 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−1, 3, 0) − (5, 0, 1) = (−6, 3, −1) m

功

W = F·d = (−30)·(−6) + (−10)·3 + 5·(−1) = 145 J

答案

W = 145 J

2.向量：点积和叉积

答案: V = 12

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 2·(−4) − 2·2 = −12

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·5 − 2·(−4) = 18

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·2 − 2·5 = −6

与 a 的点积

a·(b × c) = (−3)·(−12) + (−3)·18 + (−5)·(−6) = 12

V = |12| = 12

答案

V = 12

3.梁的支座反力

答案: R_B = 42 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·3 + 45·8

R_B = 420/10 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 42 = 23 kN

答案

R_B = 42 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 26.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·7 + 10·3·2.5

R_B = 215/8 = 26.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 26.88 = 23.13 kN

答案

R_B = 26.88 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 12.5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·2 → C_y = 6.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6.25 = 18.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6.25/0.4472 = −13.98 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−13.98)·0.8944 = 12.5 kN

答案

F_AC = 12.5 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −7.211 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·2 − 30·2 → C_y = 4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 4 = 36 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −4/0.5547 = −7.211 kN

答案

F_BC = −7.211 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_BC = 1.099 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(2.8² + 4²) = 4.883 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(4/4.883)·4 = 5·0.72

F_BC = 1.099 kN （压缩）

答案

F_BC = 1.099 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 98.18 kN

均布载荷的合力

w·L = 4·4 = 16 kN 位于 2 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.7809·1.2 = 16·2 + 15·4 = 92 kN·m

F_CD = 98.18 kN

答案

F_CD = 98.18 kN

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 20.83 kN, R₂ = 49.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 20.83, M_C = 41.67, M_D = 62.5, M_E = 83.33 kN·m, M_F = 49.17, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 83.33 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 60.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 24·3·4.5

R_B = 324/6 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 54 = 18 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 18/24 = 3.75 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 18·3.75 − 24·0.75²/2 = 60.75 kN·m

答案

M_max = 60.75 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·120 − 706.9·168)/(36000 − 706.9) = 119 mm

完整的板关于 ȳ

150·240³/12 + 36000·0.9614² = 172.8 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·48.96² = 1.734 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 25.96 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

腹板: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·145 + 1960·70)/3760 = 105.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·10³/12 + 1800·(145 − 105.9)² = 2.766 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·140³/12 + 1960·(70 − 105.9)² = 5.728 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.766 × 10⁶ + 5.728 × 10⁶ = 8.494 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 150 − 105.9 = 44.1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·44.1/8.494 × 10⁶ = 25.96 MPa

答案

σ_顶部 = 25.96 MPa

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