静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−2, −2, −2) 在 b = (−4, 6, 5) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−2, −2, −2)b = (−4, 6, 5)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (3, −2, −3)、b = (−5, 4, 2) 和 c = (−3, −3, −4)。

a = (3, −2, −3)b = (−5, 4, 2)c = (−3, −3, −4)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 25 kN 位于 1 mP₂ = 50 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 6 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 50°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 8 mP = 50 kN 位于 6 m, θ = 50°Q = 75 kN 位于 2 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 55 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓C: 20 kN ↓F: 15 kN →G: 35 kN ↓H: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1.2 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 6 kNAD = 1 mAB = 2.4 mAC = 1.2 m

A = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 80 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 12 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 2500 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 2500 NAB = BC = 80 mmh = 12 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP₁ = 55 kN 位于 1.5 mP₂ = 30 kN 位于 3 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 0 m25 kN @ 12 m15 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 170 mm、厚 22 mm，总高度 500 mm，腹板厚 14 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 170 mmH = 500 mmt_f = 22 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 90 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −1.595

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·(−4) + (−2)·6 + (−2)·5 = −14

b 的长度

|b| = √((−4)² + 6² + 5²) = 8.775

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −14/8.775 = −1.595

答案

comp_b a = −1.595

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: V = 59

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·(−4) − 2·(−3) = −10

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·(−3) − (−5)·(−4) = −26

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·(−3) − 4·(−3) = 27

与 a 的点积

a·(b × c) = 3·(−10) + (−2)·(−26) + (−3)·27 = −59

V = |−59| = 59

答案

V = 59

3.梁的支座反力

答案: R_A = 40.63 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·1 + 50·5

R_B = 275/8 = 34.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 34.38 = 40.63 kN

答案

R_A = 40.63 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 73.25 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 50·sin 50° = 38.3 kN

P_h = 50·cos 50° = 32.14 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·8 = 38.3·6 + 75·2 → R_B = 47.48 kN

A_y = 38.3 + 75 − 47.48 = 65.83 kN

A_x = P_h = 32.14 kN

A 处的合力

R_A = √(32.14² + 65.83²) = 73.25 kN

答案

R_A = 73.25 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −50.73 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·7 → C_y = 48.13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 48.13 = 6.875 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48.13/0.9487 = −50.73 kN

答案

F_BC = −50.73 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 61.25 kN (T), BC: 61.25 kN (T), CD: 48.75 kN (T), DE: 48.75 kN (T), FG: 82.5 kN (C), GH: 82.5 kN (C), AF: 65.41 kN (C), HE: 68.94 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 30.05 kN (T), HC: 47.73 kN (T)

答案

零杆: DH

7.框架与机器

答案: A = 14.65 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 6·2.4/(0.7682·1) = 18.74 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 12 kN （指向墙）

A_y = 6 − F_CD·sin α = −8.4 kN

模

A = √(12² + −8.4²) = 14.65 kN

答案

A = 14.65 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: F = 758.6 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 12/80 = 0.15, θ = 8.627°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 2529 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·2500·tan θ = 758.6 N

答案

F = 758.6 N

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 62.81 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1.5 + 30·3

R_B = 172.5/4 = 43.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 43.13 = 41.88 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1.5 = 41.88·1.5 = 62.81 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1 = 43.13·1 = 43.13 kN·m

最大值

M_max = 62.81 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 62.81 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 61.67 kN, R₂ = 33.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −96.67, M_D = −83.33, M_E = −100, M_F = −50, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −110 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 538.2 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 500 − 2·22 = 456 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·500³ − 156·456³)/12

I_x = 5.382 × 10⁸ mm⁴ = 538.2 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 538.2 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 3.719 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (1200·125 + 1200·60)/2400 = 92.5 mm

上边缘: c = 130 − 92.5 = 37.5 mm

惯性矩

I = 120·10³/12 + 1200·32.5² + 10·120³/12 + 1200·32.5² = 3.985 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 35·3.985 × 10⁶/37.5 = 3.719 kN·m

下边缘: M = 90·3.985 × 10⁶/92.5 = 3.877 kN·m

控制值

M_allow = min = 3.719 kN·m (上边缘)

答案

M_allow = 3.719 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics