静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (5, −4, −6) 与 b = (−2, 4, k) 垂直的 k 的值。

a = (5, −4, −6)b = (−2, 4, k)

k =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (1, 3, 3)、b = (4, −2, 0) 和 c = (−4, −3, 2)。

a = (1, 3, 3)b = (4, −2, 0)c = (−4, −3, 2)

V =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 7 m 承受均布荷载 w，并在距墙 7 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mP = 65 kN 位于 7 mw = 3 kN/m，从 0 到 7 m

M_A = kN·m

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 20 kN 位于 2 mw = 5 kN/m，从 2 到 4 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 15 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。C 处作用 8 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 8 kNAB = 4 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 0.8 m

C = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 150 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 10 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 4000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 4000 NAB = BC = 150 mmh = 10 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 5.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 10 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −4.333

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 5·(−2) + (−4)·4 + (−6)·k = 0

−26 + (−6)·k = 0

解出 k

k = −(−26)/(−6) = −4.333

答案

k = −4.333

2.向量：点积和叉积

答案: V = 88

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·2 − 0·(−3) = −4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·(−4) − 4·2 = −8

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 4·(−3) − (−2)·(−4) = −20

与 a 的点积

a·(b × c) = 1·(−4) + 3·(−8) + 3·(−20) = −88

V = |−88| = 88

答案

V = 88

3.梁的支座反力

答案: M_A = 528.5 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 3·7 = 21 kN, x̄ = 3.5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 65·7 + 21·3.5 = 528.5 kN·m

答案

M_A = 528.5 kN·m

4.梁的支座反力

答案: R_A = 12.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2 + 5·2·3

R_B = 70/4 = 17.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 17.5 = 12.5 kN

答案

R_A = 12.5 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 55 kN (T), BC: 90 kN (T), CD: 90 kN (T), DE: 71.67 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 71.67 kN (C), AF: 68.75 kN (C), HE: 89.58 kN (C), BF: 26.25 kN (T), CG: 0, DH: 38.75 kN (T), BG: 43.75 kN (C), DG: 22.92 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −35.58 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 + 15·3 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 33.75 = −3.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.75/0.9487 = −35.58 kN

答案

F_BC = −35.58 kN (受压)

7.框架与机器

答案: C = 6.176 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 4 kN

T = 4·2/1.7 = 4.706 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 4.706 kN, C_y = −B_y = −4 kN

模

C = √(4.706² + 4²) = 6.176 kN

答案

C = 6.176 kN

8.框架与机器

答案: F = 534.5 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 10/150 = 0.06667, θ = 3.823°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 4009 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 534.5 N

答案

F = 534.5 N

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −20 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 24 − 8·5.5 = −20 kN

答案

V_x = −20 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 27.63 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·1 + 3·10·5

R_B = 160/10 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 16 = 24 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 24·1.5 − 10·(1.5 − 1) − 3·1.5·0.75 = 27.63 kN·m

答案

M_x = 27.63 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 11.75 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

腹板: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·150 + 1960·70)/5960 = 123.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·20³/12 + 4000·(150 − 123.7)² = 2.902 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·140³/12 + 1960·(70 − 123.7)² = 8.852 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.902 × 10⁶ + 8.852 × 10⁶ = 1.175 × 10⁷ mm⁴ = 11.75 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 11.75 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 71.65 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

腹板: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·285 + 4480·140)/5480 = 166.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·10³/12 + 1000·(285 − 166.5)² = 1.406 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·280³/12 + 4480·(140 − 166.5)² = 3.241 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.406 × 10⁷ + 3.241 × 10⁷ = 4.647 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 166.5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·166.5/4.647 × 10⁷ = 71.65 MPa

答案

σ_底部 = 71.65 MPa

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