静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−6, −2, −3) 在 b = (5, −3, 2) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−6, −2, −3)b = (5, −3, 2)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (4, 1, −4) 和 b = (−5, −5, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (4, 1, −4)b = (−5, −5, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 45 kN 位于 1 mP₂ = 60 kN 位于 2 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 10 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 6 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 55 kN 位于 6 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.75 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 15 kNAD = 0.6 mAB = 2 mAC = 0.75 m

A = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 0.5 m）。梁在全长上承受 5 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 12 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 5 kN/mP = 12 kNAD = 2 mAB = 2.4 mAC = 0.5 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2.5 mP = 55 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 2.5 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP = 10 kN 位于 6 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 50 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −4.867

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−6)·5 + (−2)·(−3) + (−3)·2 = −30

b 的长度

|b| = √(5² + (−3)² + 2²) = 6.164

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −30/6.164 = −4.867

答案

comp_b a = −4.867

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.5694

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−2) − (−4)·(−5) = −22

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−5) − 4·(−2) = 28

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−5) − 1·(−5) = −15

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−22)² + 28² + (−15)²) = 38.64

n̂ = −(−22, 28, −15)/38.64 = (0.5694, −0.7246, 0.3882)

n̂_x = 0.5694

答案

n̂_x = 0.5694

3.梁的支座反力

答案: R_A = 88.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·1 + 60·2

R_B = 165/10 = 16.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 16.5 = 88.5 kN

答案

R_A = 88.5 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 390 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = L/3 = 2 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 30·2 + 55·6 = 390 kN·m

答案

M_A = 390 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −22.53 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·3 → C_y = 7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 7.5 = 12.5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12.5/0.5547 = −22.53 kN

答案

F_AB = −22.53 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·4 − 20·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 10 = 25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0.8944 = −11.18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11.18)·0.4472 = 5 kN

答案

F_AC = 5 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: A = 53.15 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 15·2/(0.7809·0.6) = 64.03 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 40 kN （指向墙）

A_y = 15 − F_CD·sin α = −35 kN

模

A = √(40² + −35²) = 53.15 kN

答案

A = 53.15 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: F_CD = 89.06 kN

均布载荷的合力

w·L = 5·2.4 = 12 kN 位于 1.2 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.2425·2 = 12·1.2 + 12·2.4 = 43.2 kN·m

F_CD = 89.06 kN

答案

F_CD = 89.06 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −95 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −55·1.5 = −82.5 kN·m

w: −4·2.5²/2 = −12.5 kN·m

M_A = −82.5 − 12.5 = −95 kN·m

答案

M_A = −95 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 48 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·6 + 2·10·5

R_B = 160/10 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 16 = 14 kN

V = 0 在哪里？

V(6⁻) = R_A − w·6 = 2 kN

V(6⁺) = 2 − 10 = −8 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 14·6 − 2·6²/2 = 48 kN·m

答案

M_max = 48 kN·m

它出现在距 A 为 x = 6 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 4.744 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107.5 mm

腹板: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·107.5 + 1800·50)/3900 = 80.96 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·15³/12 + 2100·(107.5 − 80.96)² = 1.518 × 10⁶ mm⁴

腹板: 18·100³/12 + 1800·(50 − 80.96)² = 3.226 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.518 × 10⁶ + 3.226 × 10⁶ = 4.744 × 10⁶ mm⁴ = 4.744 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 4.744 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 109.8 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

腹板: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·190 + 1800·90)/6200 = 161 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·20³/12 + 4400·(190 − 161)² = 3.855 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·180³/12 + 1800·(90 − 161)² = 1.393 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.855 × 10⁶ + 1.393 × 10⁷ = 1.778 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 200 − 161 = 39.03 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·39.03/1.778 × 10⁷ = 109.8 MPa

答案

σ_顶部 = 109.8 MPa

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