静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (7, 2, −5) 与 b = (−5, 6, −2) 的点积 a·b。

a = (7, 2, −5)b = (−5, 6, −2)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−2, 5, 4) 和 b = (2, 0, −5) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−2, 5, 4)b = (2, 0, −5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 4.5 mAC = 6 mP₁ = 75 kN 位于 3.5 mP₂ = 30 kN 位于 6 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 8 kN/m；另在距墙 8 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 8 mw₀ = 8 kN/mP = 10 kN 位于 8 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 30 kN →

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 在地面之上 3 m，且位于 A 右侧 1.35 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.675 m，作用 12 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 12 kNL = 3 mH = 3 mA 到 B 的水平距离 = 1.35 mA 到 K 的水平距离 = 0.675 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 1.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 6 kNW_b = 1.5 kNAB = 3 mAC = 1 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP₁ = 50 kN 位于 1 mP₂ = 50 kN 位于 2.5 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 15 kN 位于 3.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 60 mm，内径 d = 40 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 60 mmd = 40 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 60 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 240 mm切口: 60 × 20 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −13

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 7·(−5) + 2·6 + (−5)·(−2) = (−35) + 12 + 10 = −13

答案

a·b = −13

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.07407

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−5) − 4·0 = −25

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·2 − (−2)·(−5) = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·0 − 5·2 = −10

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−25)² + (−2)² + (−10)²) = 27

n̂ = −(−25, −2, −10)/27 = (0.9259, 0.07407, 0.3704)

n̂_y = 0.07407

答案

n̂_y = 0.07407

3.梁的支座反力

答案: R_A = 6.667 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 75·3.5 + 30·6

R_B = 442.5/4.5 = 98.33 kN

竖向平衡

R_A = 75 + 30 − 98.33 = 6.667 kN

答案

R_A = 6.667 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 250.7 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 32·5.333 + 10·8 = 250.7 kN·m

答案

M_A = 250.7 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −9.014 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5/0.5547 = −9.014 kN

答案

F_AB = −9.014 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −3.727 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·4 + 30·2 → C_y = 33.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 33.33 = 1.667 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −1.667/0.4472 = −3.727 kN

答案

F_AB = −3.727 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_BC = 3.081 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(1.65² + 3²) = 3.424 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(3/3.424)·3 = 12·0.675

F_BC = 3.081 kN （压缩）

答案

F_BC = 3.081 kN

8.框架与机器

答案: A = 20.26 kN

缆绳拉力

T = (6 + 1.5/2)/0.3162 = 21.35 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 20.25 kN

A_y = 6 + 1.5 − T·sin β = 0.75 kN

模

A = √(20.25² + 0.75²) = 20.26 kN

答案

A = 20.26 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 102.1 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 50·2.5

R_B = 175/6 = 29.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 29.17 = 70.83 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1 = 70.83·1 = 70.83 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·3.5 = 29.17·3.5 = 102.1 kN·m

最大值

M_max = 102.1 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 102.1 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 43.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3.5 + 5·6·3

R_B = 142.5/6 = 23.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 23.75 = 21.25 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 21.25·3.5 − 5·3.5·1.75 = 43.75 kN·m

答案

M_x = 43.75 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 18.03 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 1571 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 510509 mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(510509/1571) = 18.03 mm

答案

r = 18.03 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 172 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·120 − 1200·144)/(36000 − 1200) = 119.2 mm

完整的板关于 ȳ

150·240³/12 + 36000·0.8276² = 172.8 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·20³/12 + 1200·24.83² = 0.7797 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 172 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 172 × 10⁶ mm⁴

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