静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (4, 3, −6) 与 b = (3, 4, k) 垂直的 k 的值。

a = (4, 3, −6)b = (3, 4, k)

k =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−50, −10, 50) N 作用在点 A(−3, 1, 0)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 z 分量 M_z。

F = (−50, −10, 50) NA(−3, 1, 0) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 45 kN 位于 1.5 mP₂ = 25 kN 位于 4.5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 50 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 2 到 3 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 55 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 5 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 5 m，顶部销钉 C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.5 m，作用 4 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 4 kNAB = 5 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 0.8 mA 到 K 的水平距离 = 1.5 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.5 m，作用 5 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 5 kNAB = 4 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 2 mA 到 K 的水平距离 = 0.5 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 3 mP = 50 kN 位于 3 mw = 5 kN/m，从 0 到 3 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 20 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 180 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 60 mm。底板和两肢厚度均为 14 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 180 mmh = 60 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = 4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 4·3 + 3·4 + (−6)·k = 0

24 + (−6)·k = 0

解出 k

k = −24/(−6) = 4

答案

k = 4

2.向量：点积和叉积

答案: M_z = 80 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−3, 1, 0) − (0, 0, 0) = (−3, 1, 0) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·50 − 0·(−10) = 50 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−50) − (−3)·50 = 150 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·(−10) − 1·(−50) = 80 N·m

所求分量

M_z = 80 N·m

答案

M_z = 80 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 40 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1.5 + 25·4.5

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 30 = 40 kN

答案

R_A = 40 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 17 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1.5 + 4·1·2.5

R_B = 85/5 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 17 = 37 kN

答案

R_B = 17 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 25.78 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·3 → C_y = 20.63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 20.63 = 34.38 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20.63/0.6247 = −33.02 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33.02)·0.7809 = 25.78 kN

答案

F_AC = 25.78 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·1 + 5·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0.6 = −25 kN

答案

F_BC = −25 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 1.765 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 4·1.5/5 = 1.2 kN

腿 BC：对 C 取矩

1.2·2.5 = T·1.7

T = 1.765 kN

答案

T = 1.765 kN

8.框架与机器

答案: C = 1 kN

B 处的支座反力

B_y = 5·0.5/4 = 0.625 kN

拉杆力

T = 0.625·2/1.6 = 0.7813 kN

BC 上的销钉力

C_x = 0.7813 kN, C_y = −0.625 kN

C = √(0.7813² + 0.625²) = 1 kN

答案

C = 1 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −172.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −50·3 = −150 kN·m

w: −5·3²/2 = −22.5 kN·m

M_A = −150 − 22.5 = −172.5 kN·m

答案

M_A = −172.5 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 64 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 4·10·5

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 24 = 36 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 36·2 − 4·2·1 = 64 kN·m

答案

M_x = 64 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 17.15 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 180·14 = 2520 mm², y₁ = 7 mm

两肢: A₂ = 2·14·46 = 1288 mm², y₂ = 14 + 46/2 = 37 mm

形心

ȳ = (2520·7 + 1288·37)/3808 = 17.15 mm

答案

ȳ = 17.15 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 184.6 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

腹板: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·207.5 + 2800·100)/5200 = 149.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·15³/12 + 2400·(207.5 − 149.6)² = 8.087 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·200³/12 + 2800·(100 − 149.6)² = 1.623 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.087 × 10⁶ + 1.623 × 10⁷ = 2.431 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 149.6 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·149.6/2.431 × 10⁷ = 184.6 MPa

答案

σ_底部 = 184.6 MPa

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