静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−4, −3, −3) 与 b = (4, −7, 7) 的点积 a·b。

a = (−4, −3, −3)b = (4, −7, 7)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (6, 4, −4) 和 b = (−1, 6, 1)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)_y。

a = (6, 4, −4)b = (−1, 6, 1)

(a × b)_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 4 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_B，以向上为正。

L = 8 mP = 50 kN 位于 2 mM = 20 kN·m (逆时针) 位于 4 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 50 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 5 到 7 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 15 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 2.4 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。C 处作用 6 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 6 kNAB = 4 mC 的高度 = 2.4 mDE 的高度 = 1 m

C = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 5 kNW_b = 0.5 kNAB = 2 mAC = 1.5 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 45 kN 位于 5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 0 m35 kN @ 6 m6 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 90 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −16

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−4)·4 + (−3)·(−7) + (−3)·7 = (−16) + 21 + (−21) = −16

答案

a·b = −16

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_y = −2

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·1 − (−4)·6 = 28

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−1) − 6·1 = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·6 − 4·(−1) = 40

所求分量

(a × b)_y = −2

答案

(a × b)_y = −2

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_B = 10 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·8 − 50·2 + 20 = 0

R_B = 80/8 = 10 kN

竖向平衡

R_A = 50 − 10 = 40 kN

答案

R_B = 10 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: R_B = 27.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 10·2·6

R_B = 220/8 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 27.5 = 42.5 kN

答案

R_B = 27.5 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −46.38 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45/0.9701 = −46.38 kN

答案

F_BC = −46.38 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 3 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·2 − 15·2 → C_y = 2 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 2 = 18 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2/0.5547 = −3.606 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−3.606)·0.8321 = 3 kN

答案

F_AC = 3 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: C = 5.231 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 3 kN

T = 3·2/1.4 = 4.286 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 4.286 kN, C_y = −B_y = −3 kN

模

C = √(4.286² + 3²) = 5.231 kN

答案

C = 5.231 kN

8.框架与机器

答案: A = 7.004 kN

缆绳拉力

T = (5 + 0.5/2)/0.6 = 8.75 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 7 kN

A_y = 5 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(7² + 0.25²) = 7.004 kN

答案

A = 7.004 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −157.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −45·3 = −135 kN·m

w: −5·3²/2 = −22.5 kN·m

M_x = −135 − 22.5 = −157.5 kN·m

答案

M_x = −157.5 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 32.33 kN, R₂ = 55.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −40.67, M_D = −52.33, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −70 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 70.29 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

腹板: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·290 + 3920·140)/7920 = 215.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·20³/12 + 4000·(290 − 215.8)² = 2.218 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·280³/12 + 3920·(140 − 215.8)² = 4.811 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.218 × 10⁷ + 4.811 × 10⁷ = 7.029 × 10⁷ mm⁴ = 70.29 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 70.29 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 18.18 kN·m

形心

ȳ = (5200·310 + 6000·150)/11200 = 224.3 mm

上边缘: c = 320 − 224.3 = 95.71 mm

惯性矩

I = 260·20³/12 + 5200·85.71² + 20·300³/12 + 6000·74.29² = 1.165 × 10⁸ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 90·1.165 × 10⁸/95.71 = 109.5 kN·m

下边缘: M = 35·1.165 × 10⁸/224.3 = 18.18 kN·m

控制值

M_allow = min = 18.18 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 18.18 kN·m

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