静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (4, −5, −7) 在 b = (5, 4, 4) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (4, −5, −7)b = (5, 4, 4)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (2, 4, 1) 和 b = (1, −4, 5) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (2, 4, 1)b = (1, −4, 5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 4 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 R_A，以向上为正。

L = 10 mP = 80 kN 位于 3 mM = 60 kN·m (顺时针) 位于 4 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 7 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 45°；距 A 为 1 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 8 mP = 20 kN 位于 7 m, θ = 45°Q = 20 kN 位于 1 m

α = °

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 55 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 35 kN →H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 150 mm）的 200 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 150 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 200 NOA = 150 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 10 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 10 kNW_b = 2 kNAB = 2.5 mAC = 1.5 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP₁ = 25 kN 位于 1 mP₂ = 70 kN 位于 2.5 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

M_B = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mm孔心: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −3.709

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 4·5 + (−5)·4 + (−7)·4 = −28

b 的长度

|b| = √(5² + 4² + 4²) = 7.55

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −28/7.55 = −3.709

答案

comp_b a = −3.709

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.318

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·5 − 1·(−4) = 24

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·1 − 2·5 = −9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−4) − 4·1 = −12

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(24² + (−9)² + (−12)²) = 28.3

n̂ = −(24, −9, −12)/28.3 = (−0.848, 0.318, 0.424)

n̂_y = 0.318

答案

n̂_y = 0.318

3.梁的支座反力

答案: R_A = 50 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·10 − 80·3 − 60 = 0

R_B = 300/10 = 30 kN

竖向平衡

R_A = 80 − 30 = 50 kN

答案

R_A = 50 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: α = 53.72 °

P 的分量

P_v = 20·sin 45° = 14.14 kN

P_h = 20·cos 45° = 14.14 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·8 = 14.14·7 + 20·1 → R_B = 14.87 kN

A_y = 14.14 + 20 − 14.87 = 19.27 kN

A_x = P_h = 14.14 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(19.27/14.14) = 53.72°

答案

α = 53.72°

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −49.19 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·1 → C_y = 11 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 11 = 44 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −44/0.8944 = −49.19 kN

答案

F_AB = −49.19 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 32.92 kN (T), BC: 30.83 kN (T), CD: 30.83 kN (T), DE: 28.75 kN (T), FG: 32.92 kN (C), GH: 28.75 kN (C), AF: 2.604 kN (T), HE: 35.94 kN (C), BF: 1.562 kN (C), CG: 0, DH: 1.563 kN (T), BG: 2.604 kN (T), DG: 2.604 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_O = 282.8 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 200·150/150 = 200 N

销钉反力

O_x = 200 N, O_y = 200 N

F_O = √(200² + 200²) = 282.8 N

答案

F_O = 282.8 N

8.框架与机器

答案: T = 21.38 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳角

BC = √(2.5² + 1.5²) = 2.915 m, sin β = 0.5145

对 A 取矩

T·0.5145·2.5 = 10·2.5 + 2·1.25

T = 21.38 kN

答案

T = 21.38 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1 + 70·2.5

R_B = 200/4 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 50 = 45 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1 = 45·1 = 45 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1.5 = 50·1.5 = 75 kN·m

最大值

M_max = 75 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_B = −4 kN·m

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·10·5

R_B = 100/8 = 12.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12.5 = 7.5 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。

M_B = −w·a²/2 = −2·2²/2 = −4 kN·m

答案

M_B = −4 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 228.6 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 1257·156)/(48000 − 1257) = 119 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·0.9678² = 230.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·36.97² = 1.843 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 228.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 228.6 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 114.4 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112.5 mm

腹板: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·112.5 + 1200·50)/3700 = 92.23 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·25³/12 + 2500·(112.5 − 92.23)² = 1.157 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·100³/12 + 1200·(50 − 92.23)² = 3.14 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.157 × 10⁶ + 3.14 × 10⁶ = 4.297 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 125 − 92.23 = 32.77 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·32.77/4.297 × 10⁶ = 114.4 MPa

答案

σ_顶部 = 114.4 MPa

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