静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−4, 3, 2) 与 b = (−4, 4, 4) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−4, 3, 2)b = (−4, 4, 4)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (−4, −3, 4) 和 b = (−6, 6, 5) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (−4, −3, 4)b = (−6, 6, 5)

A =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 35 kN 位于 1.5 mP₂ = 45 kN 位于 2.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 2 m 处的集中荷载 Q。求滚动支座处的反力 R_D。

AC = 3 mAD = 8 mP = 50 kN 位于 4 mQ = 10 kN 位于 2 m

R_D = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 40 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 15 kN ↓D: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 5 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.5 m，作用 20 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 20 kNAB = 5 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 0.8 mA 到 K 的水平距离 = 1.5 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2.5 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 6 kNW_b = 3 kNAB = 5 mAC = 2.5 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 9 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 50 kN 位于 7 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 15.23 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−4)·(−4) + 3·4 + 2·4 = 36

模

|a| = √((−4)² + 3² + 2²) = 5.385

|b| = √((−4)² + 4² + 4²) = 6.928

相角

cos θ = 36/(5.385·6.928) = 0.9649

θ = arccos(0.9649) = 15.23°

答案

θ = 15.23°

2.向量：点积和叉积

答案: A = 57.45

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·5 − 4·6 = −39

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·(−6) − (−4)·5 = −4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·6 − (−3)·(−6) = −42

面积

A = |a × b| = √((−39)² + (−4)² + (−42)²) = 57.45

答案

A = 57.45

3.梁的支座反力

答案: R_B = 27.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1.5 + 45·2.5

R_B = 165/6 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 27.5 = 52.5 kN

答案

R_B = 27.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_D = 10 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·5 = 50·1

R_D = 10 kN

V_C = 50 − 10 = 40 kN

答案

R_D = 10 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −29.81 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·2 → C_y = 13.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 13.33 = 26.67 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13.33/0.4472 = −29.81 kN

答案

F_BC = −29.81 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 18.33 kN (T), BC: 18.33 kN (T), CD: 41.67 kN (T), DE: 41.67 kN (T), FG: 76.67 kN (C), GH: 76.67 kN (C), AF: 47.92 kN (C), HE: 52.08 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 47.92 kN (T), HC: 18.75 kN (T)

答案

零杆: BF

7.框架与机器

答案: T = 4.688 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 20·1.5/5 = 6 kN

腿 BC：对 C 取矩

6·2.5 = T·3.2

T = 4.688 kN

答案

T = 4.688 kN

8.框架与机器

答案: A = 15.07 kN

缆绳拉力

T = (6 + 3/2)/0.4472 = 16.77 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 15 kN

A_y = 6 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

模

A = √(15² + 1.5²) = 15.07 kN

答案

A = 15.07 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 46.88 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 25·2.5 − 5·2.5·1.25 = 46.88 kN·m

答案

M_x = 46.88 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 53 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·7 + 4·10·5

R_B = 550/10 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 55 = 35 kN

在 x = 9 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 35·9 − 50·(9 − 7) − 4·9·4.5 = 53 kN·m

答案

M_x = 53 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 21.27 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

腹板: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·210 + 2400·100)/4400 = 150 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·20³/12 + 2000·(210 − 150)² = 7.267 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·200³/12 + 2400·(100 − 150)² = 1.4 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.267 × 10⁶ + 1.4 × 10⁷ = 2.127 × 10⁷ mm⁴ = 21.27 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 21.27 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 68.08 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

腹板: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·265 + 5200·130)/6200 = 151.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·10³/12 + 1000·(265 − 151.8)² = 1.283 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·260³/12 + 5200·(130 − 151.8)² = 3.176 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.283 × 10⁷ + 3.176 × 10⁷ = 4.459 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 151.8 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·151.8/4.459 × 10⁷ = 68.08 MPa

答案

σ_底部 = 68.08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics