静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−6, −1, 0) 与 b = (−5, 3, 6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−6, −1, 0)b = (−5, 3, 6)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (20, −40, 30) N 作用在点 A(4, −1, 2)。坐标单位为米。求该力对点 O(−1, −1, 0) 的力矩的 z 分量 M_z。

F = (20, −40, 30) NA(4, −1, 2) mO(−1, −1, 0) m

M_z = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 7 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 2 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_A，以向上为正。

L = 10 mP = 30 kN 位于 7 mM = 20 kN·m (逆时针) 位于 2 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 15 kN/m；另在距墙 5.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 10 kN 位于 5.5 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 15 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓F: 10 kN ↓F: 30 kN →G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.75 m，作用 6 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 6 kNAB = 3 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1 mA 到 K 的水平距离 = 0.75 m

T = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 100 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 12 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 5000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 5000 NAB = BC = 100 mmh = 12 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 3 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 300 mm 的板有一个宽 40 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 300 mm切口: 40 × 40 mm孔心: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 57.96 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−6)·(−5) + (−1)·3 + 0·6 = 27

模

|a| = √((−6)² + (−1)² + 0²) = 6.083

|b| = √((−5)² + 3² + 6²) = 8.367

相角

cos θ = 27/(6.083·8.367) = 0.5305

θ = arccos(0.5305) = 57.96°

答案

θ = 57.96°

2.向量：点积和叉积

答案: M_z = −200 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (4, −1, 2) − (−1, −1, 0) = (5, 0, 2) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 0·30 − 2·(−40) = 80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·20 − 5·30 = −110 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 5·(−40) − 0·20 = −200 N·m

所求分量

M_z = −200 N·m

答案

M_z = −200 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 11 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·10 − 30·7 + 20 = 0

R_B = 190/10 = 19 kN

竖向平衡

R_A = 30 − 19 = 11 kN

答案

R_A = 11 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: M_A = 235 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 45·4 + 10·5.5 = 235 kN·m

答案

M_A = 235 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −12.02 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5 = 10 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10/0.8321 = −12.02 kN

答案

F_AB = −12.02 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 60.83 kN (T), BC: 60.83 kN (T), CD: 35.83 kN (T), DE: 35.83 kN (T), FG: 58.33 kN (C), GH: 58.33 kN (C), AF: 38.54 kN (C), HE: 44.79 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 3.125 kN (C), HC: 28.13 kN (T)

答案

零杆: DH

7.框架与机器

答案: T = 0.6429 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 6·0.75/3 = 1.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

1.5·1.5 = T·3.5

T = 0.6429 kN

答案

T = 0.6429 kN

8.框架与机器

答案: F = 1209 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 12/100 = 0.12, θ = 6.892°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 5036 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 1209 N

答案

F = 1209 N

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 4 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 12 − 4·2 = 4 kN

答案

V_x = 4 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 17.58 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3·1.5

R_B = 45/4 = 11.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 11.25 = 18.75 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 18.75/10 = 1.875 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 18.75·1.875 − 10·1.875²/2 = 17.58 kN·m

答案

M_max = 17.58 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 10.72 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

腹板: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·155 + 1400·70)/6800 = 137.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·30³/12 + 5400·(155 − 137.5)² = 2.059 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·140³/12 + 1400·(70 − 137.5)² = 8.665 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.059 × 10⁶ + 8.665 × 10⁶ = 1.072 × 10⁷ mm⁴ = 10.72 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 10.72 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 221.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·150 − 1600·195)/(30000 − 1600) = 147.5 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·2.535² = 225.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·40³/12 + 1600·47.54² = 3.829 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 221.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 221.4 × 10⁶ mm⁴

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