静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−6, 6, 2) 与 b = (5, 3, −2) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−6, 6, 2)b = (5, 3, −2)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (0, 60, −40) N 作用在点 A(4, 3, 1)。坐标单位为米。求该力对点 O(3, 0, −2) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (0, 60, −40) NA(4, 3, 1) mO(3, 0, −2) m

M_x = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 45 kN 位于 1 mP₂ = 45 kN 位于 3.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 60°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 6 mP = 45 kN 位于 5 m, θ = 60°Q = 65 kN 位于 2 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓D: 25 kN ↓F: 25 kN ↓H: 30 kN ↓H: 40 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 120 mm）的 100 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 80 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 100 NOA = 120 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1.5 m）。梁在全长上承受 3 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 5 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 3 kN/mP = 5 kNAD = 0.8 mAB = 2.5 mAC = 1.5 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 30 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 97.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 107.3 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−6)·5 + 6·3 + 2·(−2) = −16

模

|a| = √((−6)² + 6² + 2²) = 8.718

|b| = √(5² + 3² + (−2)²) = 6.164

相角

cos θ = −16/(8.718·6.164) = −0.2977

θ = arccos(−0.2977) = 107.3°

答案

θ = 107.3°

2.向量：点积和叉积

答案: M_x = −300 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (4, 3, 1) − (3, 0, −2) = (1, 3, 3) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·(−40) − 3·60 = −300 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·0 − 1·(−40) = 40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·60 − 3·0 = 60 N·m

所求分量

M_x = −300 N·m

答案

M_x = −300 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 33.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1 + 45·3.5

R_B = 202.5/6 = 33.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 33.75 = 56.25 kN

答案

R_B = 33.75 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 54.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 45·sin 60° = 38.97 kN

P_h = 45·cos 60° = 22.5 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·6 = 38.97·5 + 65·2 → R_B = 54.14 kN

A_y = 38.97 + 65 − 54.14 = 49.83 kN

A_x = P_h = 22.5 kN

A 处的合力

R_A = √(22.5² + 49.83²) = 54.67 kN

答案

R_A = 54.67 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 41.67 kN (T), DE: 41.67 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 56.25 kN (C), HE: 52.08 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 31.25 kN (T), HC: 35.42 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 14.06 kN (T), BC: 14.06 kN (T), CD: 32.19 kN (T), DE: 32.19 kN (T), FG: 63.13 kN (C), GH: 63.13 kN (C), AF: 90.1 kN (C), HE: 53.65 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 15.1 kN (T), HC: 15.1 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_O = 180.3 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 100·120/80 = 150 N

销钉反力

O_x = 150 N, O_y = 100 N

F_O = √(150² + 100²) = 180.3 N

答案

F_O = 180.3 N

8.框架与机器

答案: F_CD = 30.99 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

均布载荷的合力

w·L = 3·2.5 = 7.5 kN 位于 1.25 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.8824·0.8 = 7.5·1.25 + 5·2.5 = 21.88 kN·m

F_CD = 30.99 kN

答案

F_CD = 30.99 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −66 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −30·2 = −60 kN·m

w: −3·2²/2 = −6 kN·m

M_x = −60 − 6 = −66 kN·m

答案

M_x = −66 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 3.516 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·5·2.5

R_B = 25/4 = 6.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 6.25 = 3.75 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 3.75/2 = 1.875 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 3.75²/(2·2) = 3.516 kN·m

答案

M_max = 3.516 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 31.42 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (18000·75 − 2827·97.5)/(18000 − 2827) = 70.81 mm

完整的板关于 ȳ

120·150³/12 + 18000·4.193² = 34.07 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·26.69² = 2.651 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 31.42 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 31.42 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 7.822 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (1500·247.5 + 1920·120)/3420 = 175.9 mm

上边缘: c = 255 − 175.9 = 79.08 mm

惯性矩

I = 100·15³/12 + 1500·71.58² + 8·240³/12 + 1920·55.92² = 2.293 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 150·2.293 × 10⁷/79.08 = 43.5 kN·m

下边缘: M = 60·2.293 × 10⁷/175.9 = 7.822 kN·m

控制值

M_allow = min = 7.822 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 7.822 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics