静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (5, 0, −25) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−4, −5, 3) 运动到点 B(0, −3, 2)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (5, 0, −25) NA(−4, −5, 3) mB(0, −3, 2) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (5, 6, −4) 和 b = (3, 6, −2)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)_y。

a = (5, 6, −4)b = (3, 6, −2)

(a × b)_y =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 3 mAC = 5 mP₁ = 55 kN 位于 1.5 mP₂ = 55 kN 位于 5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 30 kN 位于 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 3 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 40 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 4 m，B 在地面之上 4 m，且位于 A 右侧 2.4 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.44 m，作用 4 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 4 kNL = 4 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 2.4 mA 到 K 的水平距离 = 1.44 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 12 kNW_b = 1 kNAB = 2.5 mAC = 2 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP₁ = 60 kN 位于 3 mP₂ = 80 kN 位于 9 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 10 kN 位于 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 260 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 160 mm。底板和两肢厚度均为 10 mm。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b = 260 mmh = 160 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 300 mm 的板有一个宽 60 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 300 mm切口: 60 × 30 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 45 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (0, −3, 2) − (−4, −5, 3) = (4, 2, −1) m

功

W = F·d = 5·4 + 0·2 + (−25)·(−1) = 45 J

答案

W = 45 J

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_y = −2

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·(−2) − (−4)·6 = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·3 − 5·(−2) = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·6 − 6·3 = 12

所求分量

(a × b)_y = −2

答案

(a × b)_y = −2

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_B = 119.2 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 55·1.5 + 55·5

R_B = 357.5/3 = 119.2 kN

竖向平衡

R_A = 55 + 55 − 119.2 = −9.167 kN

答案

R_B = 119.2 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: R_B = 27.6 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·4 + 4·3·1.5

R_B = 138/5 = 27.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 27.6 = 14.4 kN

答案

R_B = 27.6 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −33.54 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·6 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0.8944 = −33.54 kN

答案

F_BC = −33.54 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 4.722 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·5 − 30·3 → C_y = 14.17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 14.17 = 20.83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14.17/0.9487 = −14.93 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14.93)·0.3162 = 4.722 kN

答案

F_AC = 4.722 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: F_BC = 1.551 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(1.6² + 4²) = 4.308 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(4/4.308)·4 = 4·1.44

F_BC = 1.551 kN （压缩）

答案

F_BC = 1.551 kN

8.框架与机器

答案: T = 20.01 kN

缆绳角

BC = √(2.5² + 2²) = 3.202 m, sin β = 0.6247

对 A 取矩

T·0.6247·2.5 = 12·2.5 + 1·1.25

T = 20.01 kN

答案

T = 20.01 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 150 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 80·9

R_B = 900/10 = 90 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 90 = 50 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·3 = 50·3 = 150 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1 = 90·1 = 90 kN·m

最大值

M_max = 150 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 150 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 84 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·4 + 5·10·5

R_B = 290/10 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 29 = 31 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 31·4 − 5·4·2 = 84 kN·m

答案

M_x = 84 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 14.56 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 260·10 = 2600 mm², y₁ = 5 mm

两肢: A₂ = 2·10·150 = 3000 mm², y₂ = 10 + 150/2 = 85 mm

形心

ȳ = (2600·5 + 3000·85)/5600 = 47.86 mm

平行移轴定理

基质: 260·10³/12 + 2600·(5 − 47.86)² = 4.797 × 10⁶ mm⁴

两肢: 2·10·150³/12 + 3000·(85 − 47.86)² = 9.764 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4.797 × 10⁶ + 9.764 × 10⁶

I_x = 1.456 × 10⁷ mm⁴ = 14.56 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 14.56 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 221 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·150 − 1800·105)/(30000 − 1800) = 152.9 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·−2.872² = 225.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·30³/12 + 1800·−47.87² = 4.26 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 221 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 221 × 10⁶ mm⁴

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