静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (5, −2, 5) 与 b = (3, k, 6) 垂直的 k 的值。

a = (5, −2, 5)b = (3, k, 6)

k =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (1, 3, 3)、b = (4, 1, 1) 和 c = (4, −5, −3)。

a = (1, 3, 3)b = (4, 1, 1)c = (4, −5, −3)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 8 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 9 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 R_B，以向上为正。

L = 10 mP = 35 kN 位于 8 mM = 25 kN·m (顺时针) 位于 9 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 12 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 3.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 75 kN 位于 3.5 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

H: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓F: 35 kN →G: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 在地面之上 2.5 m，且位于 A 右侧 1.5 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.125 m，作用 10 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 10 kNL = 5 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 1.5 mA 到 K 的水平距离 = 1.125 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 15 kNW_b = 0.5 kNAB = 5 mAC = 1.5 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2 mP = 45 kN 位于 1.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 2 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 0 m35 kN @ 12 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 250 mm，内径 d = 218 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 250 mmd = 218 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 90 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = 22.5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 5·3 + (−2)·k + 5·6 = 0

45 + (−2)·k = 0

解出 k

k = −45/(−2) = 22.5

答案

k = 22.5

2.向量：点积和叉积

答案: V = 22

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·(−3) − 1·(−5) = 2

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·4 − 4·(−3) = 16

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 4·(−5) − 1·4 = −24

与 a 的点积

a·(b × c) = 1·2 + 3·16 + 3·(−24) = −22

V = |−22| = 22

答案

V = 22

3.梁的支座反力

答案: R_B = 30.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·10 − 35·8 − 25 = 0

R_B = 305/10 = 30.5 kN

竖向平衡

R_A = 35 − 30.5 = 4.5 kN

答案

R_B = 30.5 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: M_A = 294.5 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 24·1.333 + 75·3.5 = 294.5 kN·m

答案

M_A = 294.5 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 3.75 kN (T), BC: 7.5 kN (T), CD: 7.5 kN (T), DE: 11.25 kN (T), FG: 3.75 kN (C), GH: 11.25 kN (C), AF: 5.303 kN (C), HE: 15.91 kN (C), BF: 3.75 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (C), BG: 5.303 kN (C), DG: 5.303 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 77.92 kN (T), BC: 87.5 kN (T), CD: 87.5 kN (T), DE: 43.75 kN (T), FG: 77.92 kN (C), GH: 43.75 kN (C), AF: 53.65 kN (C), HE: 54.69 kN (C), BF: 32.19 kN (T), CG: 0, DH: 32.81 kN (T), BG: 11.98 kN (C), DG: 54.69 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_BC = 3.871 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(3.5² + 2.5²) = 4.301 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2.5/4.301)·5 = 10·1.125

F_BC = 3.871 kN （压缩）

答案

F_BC = 3.871 kN

8.框架与机器

答案: A = 50.83 kN

缆绳拉力

T = (15 + 0.5/2)/0.2873 = 53.07 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 50.83 kN

A_y = 15 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(50.83² + 0.25²) = 50.83 kN

答案

A = 50.83 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −24.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −45·0.5 = −22.5 kN·m

w: −4·1²/2 = −2 kN·m

M_x = −22.5 − 2 = −24.5 kN·m

答案

M_x = −24.5 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 14 kN, R₂ = 79 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −28, M_D = −68, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −140 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 82.92 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 11762 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8.088 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(8.088 × 10⁷/11762) = 82.92 mm

答案

r = 82.92 mm

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 4.877 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (2800·205 + 2800·100)/5600 = 152.5 mm

上边缘: c = 210 − 152.5 = 57.5 mm

惯性矩

I = 280·10³/12 + 2800·52.5² + 14·200³/12 + 2800·52.5² = 2.479 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 90·2.479 × 10⁷/57.5 = 38.8 kN·m

下边缘: M = 30·2.479 × 10⁷/152.5 = 4.877 kN·m

控制值

M_allow = min = 4.877 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 4.877 kN·m

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