静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (4, 2, −4) 与 b = (−7, −6, −7) 的点积 a·b。

a = (4, 2, −4)b = (−7, −6, −7)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (4, 1, 3) 和 b = (−2, 3, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (4, 1, 3)b = (−2, 3, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 15 kN 位于 3 mP₂ = 50 kN 位于 7 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 6 kN/m；另在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 8 mw₀ = 6 kN/mP = 55 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 50 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 10 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m，顶部销钉 C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.64 m，作用 10 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 10 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 2 mA 到 K 的水平距离 = 0.64 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 0.6 m）。梁在全长上承受 4 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 5 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 4 kN/mP = 5 kNAD = 1.2 mAB = 2.5 mAC = 0.6 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 7.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 100 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −12

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 4·(−7) + 2·(−6) + (−4)·(−7) = (−28) + (−12) + 28 = −12

答案

a·b = −12

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.3333

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·2 − 3·3 = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−2) − 4·2 = −14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·3 − 1·(−2) = 14

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−7)² + (−14)² + 14²) = 21

n̂ = (−7, −14, 14)/21 = (−0.3333, −0.6667, 0.6667)

n̂_x = −0.3333

答案

n̂_x = −0.3333

3.梁的支座反力

答案: R_A = 15.63 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·3 + 50·7

R_B = 395/8 = 49.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 49.38 = 15.63 kN

答案

R_A = 15.63 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 293 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·8 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 24·5.333 + 55·3 = 293 kN·m

答案

M_A = 293 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −36.06 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 20 = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0.5547 = −36.06 kN

答案

F_BC = −36.06 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 3 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·1 − 10·4 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 3 = 52 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3/0.7071 = −4.243 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4.243)·0.7071 = 3 kN

答案

F_AC = 3 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: T = 2 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 10·0.64/3.2 = 2 kN

腿 BC：对 C 取矩

2·1.6 = T·1.6

T = 2 kN

答案

T = 2 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 46.58 kN

均布载荷的合力

w·L = 4·2.5 = 10 kN 位于 1.25 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.4472·1.2 = 10·1.25 + 5·2.5 = 25 kN·m

F_CD = 46.58 kN

答案

F_CD = 46.58 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 9.375 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 10·2.5 − 5·2.5·1.25 = 9.375 kN·m

答案

M_x = 9.375 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 17.58 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·7.5 = 75 kN，作用于 x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·7.5·3.75

R_B = 281.3/5 = 56.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 56.25 = 18.75 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18.75/10 = 1.875 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 18.75²/(2·10) = 17.58 kN·m

答案

M_max = 17.58 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 27.42 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (15000·75 − 706.9·105)/(15000 − 706.9) = 73.52 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·1.484² = 28.16 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·31.48² = 0.7404 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 27.42 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 27.42 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 4.772 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (5600·110 + 1200·50)/6800 = 99.41 mm

上边缘: c = 120 − 99.41 = 20.59 mm

惯性矩

I = 280·20³/12 + 5600·10.59² + 12·100³/12 + 1200·49.41² = 4.744 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 50·4.744 × 10⁶/20.59 = 11.52 kN·m

下边缘: M = 100·4.744 × 10⁶/99.41 = 4.772 kN·m

控制值

M_allow = min = 4.772 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 4.772 kN·m

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