静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−3, 1, −2) 与 b = (3, 3, 3) 的点积 a·b。

a = (−3, 1, −2)b = (3, 3, 3)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (−2, 1, −2) 和 b = (3, 6, 0) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (−2, 1, −2)b = (3, 6, 0)

A =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 0.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 3 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 R_B，以向上为正。

L = 4 mP = 10 kN 位于 0.5 mM = 15 kN·m (顺时针) 位于 3 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P，并从 6 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 8 mAC = 10 mP = 65 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 6 到 10 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓G: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 10 kN →

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 300 mm）的 200 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 150 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 200 NOA = 300 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 80 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 15 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 4000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 4000 NAB = BC = 80 mmh = 15 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 3 mP = 55 kN 位于 3 mw = 6 kN/m，从 0 到 3 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 7 mw = 12 kN/m，从 0 到 7 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 200 mm 的板有一个宽 40 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mm切口: 40 × 30 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −12

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−3)·3 + 1·3 + (−2)·3 = (−9) + 3 + (−6) = −12

答案

a·b = −12

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: A = 20.12

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·0 − (−2)·6 = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·3 − (−2)·0 = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·6 − 1·3 = −15

面积

A = |a × b| = √(12² + (−6)² + (−15)²) = 20.12

答案

A = 20.12

3.梁的支座反力

答案: R_B = 5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4 − 10·0.5 − 15 = 0

R_B = 20/4 = 5 kN

竖向平衡

R_A = 10 − 5 = 5 kN

答案

R_B = 5 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: R_B = 44.5 kN

分布荷载的合力

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 65·4 + 12·8

R_B = 356/8 = 44.5 kN

R_A = 77 − 44.5 = 32.5 kN

答案

R_B = 44.5 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 23.44 kN (T), BC: 23.44 kN (T), CD: 17.81 kN (T), DE: 17.81 kN (T), FG: 35.63 kN (C), GH: 35.63 kN (C), AF: 39.06 kN (C), HE: 29.69 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 20.31 kN (T), HC: 29.69 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −25.24 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·3 + 10·2 → C_y = 31 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 31 = 14 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −14/0.5547 = −25.24 kN

答案

F_AB = −25.24 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_O = 447.2 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 200·300/150 = 400 N

销钉反力

O_x = 400 N, O_y = 200 N

F_O = √(400² + 200²) = 447.2 N

答案

F_O = 447.2 N

8.框架与机器

答案: F = 1527 N

连杆角

sin θ = 15/80 = 0.1875, θ = 10.81°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 4072 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 1527 N

答案

F = 1527 N

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −28.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −55·0.5 = −27.5 kN·m

w: −6·0.5²/2 = −0.75 kN·m

M_x = −27.5 − 0.75 = −28.25 kN·m

答案

M_x = −28.25 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 51.04 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·7·3.5

R_B = 294/6 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 49 = 35 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 35/12 = 2.917 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 35²/(2·12) = 51.04 kN·m

答案

M_max = 51.04 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 11.36 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

腹板: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·170 + 1280·80)/6880 = 153.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·20³/12 + 5600·(170 − 153.3)² = 1.757 × 10⁶ mm⁴

腹板: 8·160³/12 + 1280·(80 − 153.3)² = 9.6 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.757 × 10⁶ + 9.6 × 10⁶ = 1.136 × 10⁷ mm⁴ = 11.36 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 11.36 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 64.53 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 1200·60)/(20000 − 1200) = 102.6 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·−2.553² = 66.8 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·30³/12 + 1200·−42.55² = 2.263 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 64.53 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 64.53 × 10⁶ mm⁴

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