静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzab

求向量 a = (4, −6, −4) 与 b = (−5, −1, 0) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (4, −6, −4)b = (−5, −1, 0)
θ = °
2.向量：点积和叉积困难
xyzab

对于 a = (−6, 3, 0) 和 b = (3, −2, −4)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)y。

a = (−6, 3, 0)b = (3, −2, −4)
(a × b)y =
3.梁的支座反力中等
P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?4.5 m0.5 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 6 mP1 = 55 kN 位于 4.5 mP2 = 45 kN 位于 5 m
RB = kN
4.梁的支座反力困难
w0​ = 20 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?2 m3 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 20 kN/m；另在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 30 kN 位于 2 m
MA = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABCDEFGH25 kN15 kN30 kN4 × 3 m3 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓C: 15 kN ↓D: 30 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
6.桁架：节点法困难
ABCDEFGH40 kN10 kN10 kN20 kN15 kN4 × 4 m3 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓C: 10 kN ↓D: 10 kN ↓F: 20 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
7.框架与机器中等
15 kN0.8 m1.6 m1 mABCD

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 15 kNAD = 0.8 mAB = 2.4 mAC = 1 m
A = kN
8.框架与机器困难
5 kN0.5 kN4 m1 mABC

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1 m。B 处悬挂 5 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 5 kNWb = 0.5 kNAB = 4 mAC = 1 m
A = kN
9.剪力和弯矩中等
4 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.剪力和弯矩困难
w = 3 kN/mP = 35 kNAB截面3.5 m2.5 m

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 35 kN 位于 3.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
11.形心和惯性矩中等
2001014014x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
1201522020x负弯矩 M尺寸单位为 mm

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 120 MPa。 求梁能承受的最大负弯矩 Mallow（给出其大小）。

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 220 mmσt,allow = 35 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 109.4 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 4·(−5) + (−6)·(−1) + (−4)·0 = −14

模

|a| = √(4² + (−6)² + (−4)²) = 8.246
|b| = √((−5)² + (−1)² + 0²) = 5.099

相角

cos θ = −14/(8.246·5.099) = −0.333
θ = arccos(−0.333) = 109.4°

答案

θ = 109.4°
2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)y = −24

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)x = aybz − azby = 3·(−4) − 0·(−2) = −12
(a × b)y = azbx − axbz = 0·3 − (−6)·(−4) = −24
(a × b)z = axby − aybx = (−6)·(−2) − 3·3 = 3

所求分量

(a × b)y = −24

答案

(a × b)y = −24

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: RB = 78.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​4.5 m0.5 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·6 = 55·4.5 + 45·5
RB = 472.5/6 = 78.75 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 78.75 = 21.25 kN

答案

RB = 78.75 kN
4.梁的支座反力

答案: MA = 226.7 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 50·3.333 + 30·2 = 226.7 kN·m

答案

MA = 226.7 kN·m
5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 33.75 kN (T), BC: 33.75 kN (T), CD: 36.25 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 42.5 kN (C), GH: 42.5 kN (C), AF: 47.73 kN (C), HE: 51.27 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 12.37 kN (T), HC: 8.839 kN (T)

答案

零杆: CG
6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 58.75 kN (T), BC: 58.75 kN (T), CD: 32.92 kN (T), DE: 32.92 kN (T), FG: 67.5 kN (C), GH: 67.5 kN (C), AF: 92.19 kN (C), HE: 41.15 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 7.812 kN (C), HC: 24.48 kN (T)

答案

零杆: CG
7.框架与机器

答案: A = 46.86 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

FCD = 15·2.4/(0.7809·0.8) = 57.63 kN

A 处的分量

Ax = FCD·cos α = 36 kN （指向墙）
Ay = 15 − FCD·sin α = −30 kN

模

A = √(36² + −30²) = 46.86 kN

答案

A = 46.86 kN

Ay 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: A = 21 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (5 + 0.5/2)/0.2425 = 21.65 kN

A 处的分量

Ax = T·cos β = 21 kN
Ay = 5 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(21² + 0.25²) = 21 kN

答案

A = 21 kN
9.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 37 kN, R2 = 37 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 35, MC = 66, MD = 93 kN·m, ME = 66, MF = 35, MG = 0

答案

标记点 D: MD = 93 kN·m
10.剪力和弯矩

答案: Mx = 64.17 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·3.5 + 3·6·3
RB = 176.5/6 = 29.42 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 29.42 = 23.58 kN
w = 3 kN/mP = 35 kNABRA​ = 23.58RB​ = 29.42截面3.5 m2.5 m

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 23.58·3.5 − 3·3.5·1.75 = 64.17 kN·m

答案

Mx = 64.17 kN·m
11.形心和惯性矩

答案: Ix = 8.786 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
腹板: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·145 + 1960·70)/3960 = 107.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·10³/12 + 2000·(145 − 107.9)² = 2.773 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·140³/12 + 1960·(70 − 107.9)² = 6.014 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.773 × 10⁶ + 6.014 × 10⁶ = 8.786 × 10⁶ mm⁴ = 8.786 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 8.786 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: Mallow = 13.64 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (1800·227.5 + 4400·110)/6200 = 144.1 mm
上边缘: c = 235 − 144.1 = 90.89 mm

惯性矩

I = 120·15³/12 + 1800·83.39² + 20·220³/12 + 4400·34.11² = 3.542 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 35·3.542 × 10⁷/90.89 = 13.64 kN·m
下边缘: M = 120·3.542 × 10⁷/144.1 = 29.49 kN·m

控制值

Mallow = min = 13.64 kN·m (上边缘)

答案

Mallow = 13.64 kN·m

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