静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (3, −1, 0) 在 b = (6, −3, −1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (3, −1, 0)b = (6, −3, −1)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (3, 0, −5)、b = (2, 3, 0) 和 c = (−2, 1, −4)。

a = (3, 0, −5)b = (2, 3, 0)c = (−2, 1, −4)

V =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 2.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 5 mP = 20 kN 位于 2.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 5 m

M_A = kN·m

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 60°；距 A 为 8 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 10 mP = 15 kN 位于 3 m, θ = 60°Q = 65 kN 位于 8 m

α = °

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 1.5 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 2.25 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 15 kNAB = 6 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 1.5 mA 到 K 的水平距离 = 2.25 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2.4 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4.5 m，并由高度为 1.5 m 的水平杆 DE 拉在一起。C 处作用 6 kN 向右的水平力。求拉杆中的拉力 T。

P = 6 kNAB = 2.4 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.5 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 9 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 20 kN 位于 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 300 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 60 mm。底板和两肢厚度均为 14 mm。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b = 300 mmh = 60 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 200 mm 的板有一个宽 40 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 130 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mm切口: 40 × 20 mm孔心: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 3.096

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 3·6 + (−1)·(−3) + 0·(−1) = 21

b 的长度

|b| = √(6² + (−3)² + (−1)²) = 6.782

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 21/6.782 = 3.096

答案

comp_b a = 3.096

2.向量：点积和叉积

答案: V = 76

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·(−4) − 0·1 = −12

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·(−2) − 2·(−4) = 8

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·1 − 3·(−2) = 8

与 a 的点积

a·(b × c) = 3·(−12) + 0·8 + (−5)·8 = −76

V = |−76| = 76

答案

V = 76

3.梁的支座反力

答案: M_A = 100 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2.5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 20·2.5 + 20·2.5 = 100 kN·m

答案

M_A = 100 kN·m

4.梁的支座反力

答案: α = 71.25 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 15·sin 60° = 12.99 kN

P_h = 15·cos 60° = 7.5 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12.99·3 + 65·8 → R_B = 55.9 kN

A_y = 12.99 + 65 − 55.9 = 22.09 kN

A_x = P_h = 7.5 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(22.09/7.5) = 71.25°

答案

α = 71.25°

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40 kN (T), BC: 33.33 kN (T), CD: 33.33 kN (T), DE: 26.67 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 26.67 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 33.33 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 8.333 kN (T), DG: 8.333 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 37.92 kN (T), BC: 37.92 kN (T), CD: 70.42 kN (T), DE: 70.42 kN (T), FG: 112.5 kN (C), GH: 112.5 kN (C), AF: 78.65 kN (C), HE: 88.02 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 61.98 kN (T), HC: 21.35 kN (T)

答案

零杆: BF

7.框架与机器

答案: T = 6.75 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 15·2.25/6 = 5.625 kN

腿 BC：对 C 取矩

5.625·3 = T·2.5

T = 6.75 kN

答案

T = 6.75 kN

8.框架与机器

答案: T = 4.5 kN

整个框架：对 A 取矩

B_y·2.4 = 6·4.5

B_y = 11.25 kN

腿 BC：对 C 取矩

11.25·1.2 = T·3

T = 4.5 kN

答案

T = 4.5 kN

T 为正，表示拉杆如假设的那样受拉。

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 25.33 kN, R₂ = 38.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 23.33, M_C = 42.67, M_D = 58, M_E = 69.33 kN·m, M_F = 36.67, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 69.33 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 19 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·5 + 2·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 9 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 20·9 − 20·(9 − 5) − 2·9·4.5 = 19 kN·m

答案

M_x = 19 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 1.183 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 300·14 = 4200 mm², y₁ = 7 mm

两肢: A₂ = 2·14·46 = 1288 mm², y₂ = 14 + 46/2 = 37 mm

形心

ȳ = (4200·7 + 1288·37)/5488 = 14.04 mm

平行移轴定理

基质: 300·14³/12 + 4200·(7 − 14.04)² = 276807 mm⁴

两肢: 2·14·46³/12 + 1288·(37 − 14.04)² = 906053 mm⁴

I_x = 276807 + 906053

I_x = 1.183 × 10⁶ mm⁴ = 1.183 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 1.183 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 132.6 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 800·130)/(40000 − 800) = 99.39 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·0.6122² = 133.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·20³/12 + 800·30.61² = 0.7764 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 132.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 132.6 × 10⁶ mm⁴

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